giải chi tiết Cho tam giác ABC vuông tại A, AB < AC, đường cao AH. Tính độ dài AB, AC biết AH= 6cm; S tam giác ABC = 37,5 cm2 (Đ/s: AB=7,5cm, AC=10cm)

$S_{ΔABC}=\dfrac{1}{2}.AH.BC=37,5\\↔6.BC=75\\↔BC=\dfrac{25}{2}cm$

Áp dụng hệ thức lượng vào $ΔABC$ vuông tại $A$ có đường cao $AH$

$AH.BC=AB.AC$ hay $75=AB.AC$

$↔AB=\dfrac{75}{AC}$

Áp dụng định lý Pytago vào $ΔABC$ vuông tại $A$:

$AB^2+AC^2=BC^2$ hay $(\dfrac{75}{AC})^2+AC^2=(\dfrac{25}{2})^2$

$↔\dfrac{5625}{AC^2}+AC^2=\dfrac{625}{4}\\↔\dfrac{22500}{4AC^2}+\dfrac{4AC^4}{4AC^2}=\dfrac{625AC^2}{4AC^2}\\→4AC^4+22500=625AC^2\\↔4AC^4-625AC^2+22500=0\\↔(2AC^2)^2-2.2AC^2.\dfrac{625}{4}+\dfrac{390625}{16}-\dfrac{30625}{16}=0\\↔(2AC^2-\dfrac{625}{4})^2-\dfrac{30625}{16}=0\\↔(2AC^2-200)(2AC^2-112,5)=0\\↔\left[\begin{array}{1}2AC^2-200=0\\2AC^2-112,5=0\end{array}\right.\\↔\left[\begin{array}{1}AC^2=100\\AC^2=56,25\end{array}\right.\\↔\left[\begin{array}{l}AC=10(cm)\\AC=7,5(cm)\end{array}\right.\\→\left[\begin{array}{1}AB=7,5(cm)\\AB=10(cm)\end{array}\right.$

Vậy $AB=7,5(cm),AC=10(cm)$ hoặc $AB=10(cm),AC=7,5(cm)$