Cho tứ diện ABCD. G là trọng tâm tam giác BCD. Tìm hệ thức liên hệ giữa vectơ AG và các vectơ AB, AC, AD.

Đáp án:

$\vec{AG}=\dfrac{\vec{AB}+\vec{AC}+\vec{AD}}{3}$

Lời giải:

Gọi $M$ là trung điểm của $CD$

Do $G$ là trọng tâm $\Delta BCD$ nên  \(\vec{BG} = \dfrac{2}{3}\vec{BM}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {AG}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BG} \\
 = \overrightarrow {AB}  + \dfrac{2}{3}\overrightarrow {BM} \\
 = \overrightarrow {AB}  + \dfrac{2}{3}\left( {\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {AM} } \right)\\
 = \overrightarrow {AB}  + \dfrac{2}{3}\overrightarrow {BA}  + \dfrac{2}{3}\overrightarrow {AM} \\
 = \dfrac{1}{3}\overrightarrow {AB}  + \dfrac{1}{3}.\left( {\overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {AM} } \right)\\
 = \dfrac{1}{3}\overrightarrow {AB}  + \dfrac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {CM}  + \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {DM} } \right)\\
 = \dfrac{1}{3}\overrightarrow {AB}  + \dfrac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow 0 } \right)\\
 = \dfrac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AD} } \right)
\end{array}\)