Đề thi Toán Hà Nội nha Với hai số thực `a,b` thỏa mãn `a^2+b^2=2 ` Tìm GTNN của `P=3(a+b)+ab` Cách làm của mình: `a^2+b^2=2` `->(a+b)^2-2ab=2` Đặt `(a+b;ab)=(x;y) ` `->x^2-2y=2 ` `->y=(x^2-2)/2` Đồng thời đề bài trở về dạng tìm GTNN của `P=3x+y` Có `a^2+b^2=2>=(a+b)^2/2 ->-2<=a+b<=2 ->-2<=x<=2 ` Xét `P=3x+y=3x+(x^2-2)/2=(x^2+6x-2)/2` Xét hiệu `P-(-5)=((x+2)(x+4))/2>=0 ->P>=-5 ` Dấu bằng xảy ra khi `a=b=-1` Dưới ảnh là cách làm trên mạng, mọi người ai có cách làm khác thì trả lời câu hỏi nhé

Đáp án:

`P_{\text{Min}}=-5` 

Giải thích các bước giải:

Dự đoán điểm rơi: `P>=-5<=>a=b=-1`

Ta sẽ đi chứng minh `P>=-5`

Cách 1:

`(a+b)^2=a^2+b^2+2ab=2+2ab=2(ab+1)`

`=>ab+1=\frac{(a+b)^2}{2}`

Biến đổi tương đương:

`3(a+b)+ab>=-5`

`<=>3(a+b)+ab+5>=0`

`<=>3(a+b)+(ab+1)+4>=0`

`<=>3(a+b)+\frac{(a+b)^2}{2}+4>=0`

`<=>(a+b)^2+6(a+b)+8>=0`

`<=>(a+b+4)(a+b+2)>=0` `(1)`

Mặt khác, từ `2(a^2+b^2)>=(a+b)^2`

`=>(a+b)^2<=4`

`=>-2<=a+b<=2` `(***)`

Nên `(1)` luôn đúng vậy `P=3(a+b)+ab>=-5`

Đẳng thức xảy ra khi `a+b=-2` và `a^2+b^2=2`

`<=>a=b=-1`

Cách 2:

`ab<=\frac{a^2+b^2}{2}=2/2=1`

Biến đổi tương đương:

`3(a+b)+ab>=-5`

`<=>3(a+b)+1>=-5`

`<=>3(a+b)>=-6`

`<=>a+b>=-2` ( luôn đúng do `(***)` )

Vậy `P=3(a+b)+ab>=-5`

Đẳng thức xảy ra khi `a=b=-1`