Bài 5: Cho ΔABC có AB = 6cm; AC = 10cm và BC = 12cm. Vẽ đường phân giác AD của góc A, trên tia đốicủa tia DA lấy điểm I sao cho góc ACI = BDA.a. Tính độ dài DB, DC.b. Cm ΔACI đồng dạng với ΔCDIc. Cm AD² = AB.AC – DB.DC

`a)` Vì `AD` là tia phân giác của `hat{A}`,theo t/c đường phân giác trong `ΔABC` có:

                      `(BD)/(CD)=(AB)/(AC)`

                     `⇒(BD)/(CD)=6/(10)`

                     `⇒(BD)/(CD)=3/5`

    `→(BD)/3=(CD)/5`

Áp dụng t/c của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

`(BD)/3=(CD)/5=(BD+CD)/(3+5)=(12)/8=3/2`

`⇒(BD)/3=3/2⇒BD=4,5(cm)`

`⇒(CD)/5=3/2⇒CD=7,5(cm)`

Vậy `BD=4,5cm``;CD=7,5cm`

`b)` Ta có:`hat{BDA}=hat{CDI}`(đối đỉnh)

               `hat{BDA}=hat{ACI}`(gt)

        `⇒hat{CDI}=hat{ACI}`

  Xét `2ΔACI` và `CDI` có:

        `hat{I}` chung

        `hat{ACI}=hat{CDI}(cmt)`

    `⇒ΔACI~ΔCDI`

`c)` Xét `2ΔBAD` và `IAC` có:

        `hat{BDA}=hat{ICA}`(gt)

        `hat{A1}=hat{A2}`(gt)

       `⇒ΔBAD~ΔIAC`

       `⇒(AD)/(AC)=(BA)/(IA)`

       `⇒AD.IA=AC.AB(1)`

       `⇒hat{ABD}=hat{I}`

Xét `2ΔABD` và `CID`` có:

 `hat{ABD}=hat{I}(cmt)`

 `hat{ADB}=hat{CDI}`(đối đỉnh)

`⇒ΔABD~ΔCID`

`⇒(AD)/(CD)=(DB)/(ID)`

`⇒AD.ID=DB.CD(2)`

Từ `(1)` và `(2)` ,trừ vế theo vế:

`⇒AD.IA-AD.ID=AB.AC-DB.CD`

`⇒AD.(IA-ID)=AB.AC-DB.DC`

`⇒AD.AD=AB.AC-DB.DC`

`⇒AD^2=AB.AC-DB.DC(đpcm)`