Cho tam giác ABC có a=8, b=10,c=13 a) Tam giác ABC có góc tù ko? b) Tính độ dài trung tuyến MA, diện tích, bán kính đg tròn ngoại tiếp và nội típ của tam giác ABC

Đáp số:

a) $\Delta ABC$ có $\widehat A$ là góc tù

b) $MA=\dfrac{\sqrt{474}}{2}$

$S=\dfrac{5\sqrt{1023}}{4}$

$R=\dfrac{208}{\sqrt{1023}}$

$r= \dfrac{5\sqrt{1023}}{62}$

Lời giải:

a) Áp dụng định lý hàm số cos ta có:

$c^2 = a^2 + b^2 -2ab \cos A$

$\Leftrightarrow 2ab \cos A = a^2 + b^2 - c^2$

$\Leftrightarrow 2.8.10.\cos A = 8^2 + 10^2 - 13^2$

$\Leftrightarrow \cos A = -\dfrac{1}{32}$

Ta thấy $\cos A < 0$, do đó $\widehat{A} > 90^{\circ}$.

Vậy tam giác ABC tù tại A.

b) Áp dụng công thức đường trung tuyến ta có:

Độ dài đường trung tuyến MA là:

$MA=m_A = \sqrt{\dfrac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4}} = \dfrac{\sqrt{474}}{2}$

Nửa chu vi là $p=\dfrac{a+b+c}{2}=\dfrac{31}{2}$

Áp dụng công thức Hê - rông ta có

$S_{ABC} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}= \dfrac{5\sqrt{1023}}{4}$

Áp dụng công thức $S=\dfrac{abc}{4R}$ (R: tâm đường tròn ngoại tiếp)

$\Rightarrow R=\dfrac{abc}{4S}=\dfrac{8.10.13}{4.\dfrac{5\sqrt{1023}}{4}}=\dfrac{208}{\sqrt{1023}}$

Áp dụng công thức $S=pr$ (r là tâm đường tròn nội tiếp)

$\Rightarrow r=\dfrac{\dfrac{5\sqrt{1023}}{4}}{\dfrac{31}{2}}= \dfrac{5\sqrt{1023}}{62}$