|x^2-2x-3|=|2x-5|+1 help me 😭

Đáp án:

$S = \left\{ { - 3;1;\sqrt 7 ;2 + \sqrt 3 } \right\}$

Giải thích các bước giải:

 Ta có:

$\left| {{x^2} - 2x - 3} \right| = \left| {2x - 5} \right| + 1\left( 1 \right)$

$\begin{array}{l}
 + )TH1:x \ge 3\\
 \text{Khi đó:} \left\{ \begin{array}{l}
\left| {{x^2} - 2x - 3} \right| = {x^2} - 2x - 3\\
\left| {2x - 5} \right| = 2x - 5
\end{array} \right.
\end{array}$

Phương trình $(1)$ trở thành

$\begin{array}{l}
{x^2} - 2x - 3 = 2x - 5 + 1\\
 \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 1 = 0\\
 \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} = 3\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 2 + \sqrt 3 \left( c \right)\\
x = 2 - \sqrt 3 \left( l \right)
\end{array} \right.
\end{array}$

$ + )TH2:\dfrac{5}{2} \le x < 3$

Khi đó: $\left\{ \begin{array}{l}
\left| {{x^2} - 2x - 3} \right| =  - \left( {{x^2} - 2x - 3} \right)\\
\left| {2x - 5} \right| = 2x - 5
\end{array} \right.$

Phương trình $(1)$ trở thành:

$\begin{array}{l}
 - \left( {{x^2} - 2x - 3} \right) = 2x - 5 + 1\\
 \Leftrightarrow {x^2} - 7 = 0\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \sqrt 7 \left( c \right)\\
x =  - \sqrt 7 \left( l \right)
\end{array} \right.\\
 + )TH3: - 1 \le x < \dfrac{5}{2}
\end{array}$

Khi đó: $\left\{ \begin{array}{l}
\left| {{x^2} - 2x - 3} \right| =  - \left( {{x^2} - 2x - 3} \right)\\
\left| {2x - 5} \right| =  - \left( {2x - 5} \right)
\end{array} \right.$

Phương trình $(1)$ trở thành:

$\begin{array}{l}
 - \left( {{x^2} - 2x - 3} \right) =  - \left( {2x - 5} \right) + 1\\
 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 3 - 2x + 5 + 1 = 0\\
 \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 3 = 0\\
 \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right) = 0\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 1\left( c \right)\\
x = 3\left( l \right)
\end{array} \right.
\end{array}$

$ + )TH4:x <  - 1$

Khi đó:$\left\{ \begin{array}{l}
\left| {{x^2} - 2x - 3} \right| = {x^2} - 2x - 3\\
\left| {2x - 5} \right| =  - \left( {2x - 5} \right)
\end{array} \right.$

Phương trình $(1)$ trở thành:

$\begin{array}{l}
{x^2} - 2x - 3 =  - \left( {2x - 5} \right) + 1\\
 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 3 + 2x - 5 - 1 = 0\\
 \Leftrightarrow {x^2} - 9 = 0\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 3\left( l \right)\\
x =  - 3\left( c \right)
\end{array} \right.
\end{array}$

Vậy phương trình có tập nghiệm là: $S = \left\{ { - 3;1;\sqrt 7 ;2 + \sqrt 3 } \right\}$