Cho đường tròn (O;R) đường kính AB cố định. Trên tia đối của tia AB lấy điểm C sao cho AC=R. Qua C kẻ đường thẳng d vuông góc với CA. lấy điểm M bất kỳ trên đường tròn (O) không trùng với A, B. Tia BM cắt đường thẳng d tại P. Tia CM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là N, tia PA cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là Q. a. Chứng minh tứ giác ACPM là tứ giác nội tiếp. b. Tính BM.BP theo R. c. Chứng minh hai đường thẳng PC và NQ song song. d. Chứng minh trọng tâm G của tam giác CMB luôn nằm trên một đường tròn cố định khi điểm M thay đổi trên đường tròn (O).

a, Xét (O), đường kính AB có: M ∈ (O)

⇒ $\widehat{AMB}=90°$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

⇒ AM ⊥ BP ⇒ $\widehat{AMP}=90°$

PC ⊥ AC (gt) ⇒ $\widehat{ACP}=90°$ Hay $\widehat{BCP}=90°$

Xét tứ giác ACPM có: $\widehat{AMP}+\widehat{ACP}=90°+90°=180°$

Mà hai góc này ở vị trí đối nhau

⇒ Tứ giác ACPM nội tiếp đường tròn đường kính AP

b, Xét ΔBMA và ΔBCP có:

$\widehat{BMA}=\widehat{BCP}=90°$ 

$\widehat{PBC}$: góc chung

⇒ ΔBMA ~ ΔBCP (g.g)

⇒ $\frac{BM}{BC}=\frac{BA}{BP}$ (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

⇒ BM.BP = BA.BC

Có BC=BA+CA=2R+R=3R

⇒ BM.BP=BA.BC=2R.3R=6R²

c, Tứ giác ACPM nội tiếp đường tròn đường kính AP (cmt)

⇒ $\widehat{CPA}=\widehat{CMA}$ (góc nội tiếp chắn $\overparen{CA}$)

Hay $\widehat{CPQ}=\widehat{CMA}$

Xét (O) có: A, M, N, Q ∈ (O)

⇒ Tứ giác AMNQ nội tiếp (O)

⇒ $\widehat{AQN}+\widehat{AMN}=180°$ (tổng hai góc đối trong tứ giác nội tiếp)

Mà $\widehat{AMC}+\widehat{AMN}=180°$ (hai góc kề bù)

⇒ $\widehat{AQN}=\widehat{CMA}$ Hay $\widehat{PQN}=\widehat{CMA}$

Mà $\widehat{CPQ}=\widehat{CMA}$ (cmt)

⇒ $\widehat{CPQ}=\widehat{PQN}$

Mà hai góc này ở vị trí so le trong so PQ cắt CP và NQ

⇒ CP // NQ

d, Gọi D là trung điểm của BC, kẻ đường thẳng qua G song song với MO cắt AO tại I

Mà BC cố định ⇒ D cố định

Có O, D cố định ⇒ I cố định

Xét ΔMBC có: G là trọng tâm của ΔMBC (gt)

⇒ $\frac{DG}{DM}=\frac{1}{3}$

Xét ΔOMD có: GI // MO (cách vẽ)

⇒ $\frac{DG}{DM}=\frac{GI}{MO}$ (hệ quả định lí Talet)

⇒ $\frac{GI}{MO}=\frac{1}{3}⇒GI=\frac{MO}{3}=\frac{R}{3}$

Mà R không đổi

⇒ G luôn cách I một khoảng bằng $\frac{R}{3}$

⇒ Khi M di động, G luôn thuộc đường tròn tâm I, bán kính $\frac{R}{3}$