Từ M bên ngoài đường tròn O vẽ cát tuyến MCD không đi qua tâm O và hai tiếp tuyến MA,MB đến đường tròn O , ở đây A,B là các tiếp điểm và C nàm giữa MD. a. Chứng minh MA^2 = MC.MD b. Gọi I là trung điểm của CD . Chứng minh rằng năm điểm M,A,O,I,B cùng nằm trên 1 đường tròn c. Gọi H là giao điểm của AB và MD . Chứng minh tứ giác CHOD nội tiếp đường đường tròn . Suy ra AB là đường phân giác của góc CHD d. Gọi K là giao điểm của các tiếp tuyến tại C và D của đường tròn O . Chúng minh A,B,K thẳng hàng

Giải thích các bước giải:

a.Vì $MA$ là tiếp tuyến của (O)

$\rightarrow\widehat{MAC}=\widehat{MDA}\rightarrow\Delta MAC\sim\Delta MDA(g.g)$

$\rightarrow\dfrac{MA}{MD}=\dfrac{MC}{MA}\rightarrow MA^2=MC.MD$

b.Vì I là trung điểm CD

$\rightarrow\widehat{MIO}=90^o=\widehat{MAO}=\widehat{MBO}\rightarrow M,A,O,I,B$ cùng thuộc đường tròn đường kính MO

c.Vì $MA\perp OA, OM\perp AB=H\rightarrow MH.MO=MA^2=MC.MD$

$\rightarrow\dfrac{MA}{MD}=\dfrac{MC}{MA}\rightarrow\Delta MHC\sim\Delta MDC\rightarrow\widehat{MHC}=\widehat{MDO}$

$\rightarrow\Diamond HCDO$ nội tiếp

$\rightarrow\widehat{OHD}=\widehat{OCD}=\widehat{ODC}=\widehat{MHC}$

$\rightarrow 90^o-\widehat{MHC}=90^o-\widehat{OHD}\rightarrow \widehat{CHB}=\widehat{BHD}$

$\rightarrow HB$ là phân giác $\widehat{CHD}$

d.Vì $KC,KD$ là tiếp tuyến của (O)

$\rightarrow \Diamond KCOD$ nội tiếp

mà $\Diamond HODC$ nội tiếp

$\rightarrow K,C,H,O,D$ cùng thuộc một đường tròn

$\rightarrow HK$ là phân giác $\widehat{CHD}$ do $KC=KD$

$\rightarrow A,B,K$ thẳng hàng