Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn O , các đường cao BD và CE cắt nhau tại H a. Chứng minh rằng các tứ giác ADHE và BDEC nội tiếp b. Chứng minh rằng AE.AB= AD.AC c. Chứng minh rằng OA vuông góc với DE

a) Xét tứ giác $ADHE$ có:

$\widehat{AEH}=90^o$ (do $CE\bot AB$)

$\widehat{ADH}=90^o$ (do $BD\bot AC$)

$\Rightarrow\widehat{AEH}+\widehat{ADH}=180^o$

$\Rightarrow ADHE$ nội tiếp đường tròn đường kính $(AH)$

Xét tứ giác $BEDC$ có:

$\widehat{BEC}=90^o$ (do $CE\bot AB$)

$\widehat{BDC}=90^o$ (do $BD\bot AC$)

Hai đỉnh E, D cùng nhìn BC dưới một góc $90^o$

$\Rightarrow $ tứ giác $BEDC$ nội tiếp đường tròn đường kính $(BC)$

b) Do tứ giác $BEDC$ nội tiếp nên $\widehat{D_1}=\widehat B$ (tính chất tứ giác nội tiếp)

Xét $\Delta AED$ và $\Delta ACB$ có:

$\widehat A$ chung

$\widehat {D_1}=\widehat B$ (cmt)

$\Rightarrow\Delta AED\sim\Delta ACB$ (g.g)

$\Rightarrow\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AD}{AB}$

$\Rightarrow AE.AB=AD.AC$ (đpcm)

c) Gọi $Ax$ là tiếp tuyến của $(O)$ tại $A$

Ta có tứ giac $BEDC$ nội tiếp đường tròn đường kính $(BC)$ nên $\widehat{E_1}=\widehat {DCB}$ (tc)

$\widehat{BAx}=\widehat{DCB}$ (góc tạo bởi tiếp tuyến, dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung AB)

Từ hai điều trên suy ra $\widehat{E_1}=\widehat{BAx}$ mà chúng ở vị trí so le trong

$\Rightarrow Ax//ED$ và có $OA\bot Ax$ (cách dựng)

$\Rightarrow OA\bot ED$ (từ vuông góc đến song song).