Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 8 chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số trong tập S.Tính xác suất để số được chọn chia hết cho 45.

Đáp án:

 $\dfrac{53}{2268}$

Giải thích các bước giải:

Số tự nhiên có 8 chữ số đôi một khác nhau là $\overline{abcdefgh}$

$a$ có 9 cách chọn $(a\ne 0)$

$b $ có $9$ cách chọn $b\ne a$

$c,d,...h$ có lần lượt số cách chọn là 8, 7, 6, 5, 4, 3 cách chọn

$\Rightarrow n(\Omega)=9.9.8.7.6.5.4.3=1632960$ cách

Gọi A là biến cố số được chọn chia hết cho 45.

Chia hết cho 45 là chia hết cho 9 và 5.

Ta có 1+2+3+...+9=45 chia hết cho 9 mà từ 0 đến 9 có 10 số, như vậy ta phải bỏ ra 2 chữ số sao cho tổng của hai chữ số đó là 9 thì tổng của 8 chữ số còn lại vẫn chia hết cho 9.

Các bộ số có tổng là 9 là: (0;9); (1;8); (2;7); (3;6); (4;5)

Trường hợp 1 bỏ đi bộ số (0;9)

$h=5$ có 1 cách chọn

$a(\ne 0;9;5)$ có $7$ cách

$b(\ne a, h)$ có 6 cách

c, d, e, f, g có lần lượt 5, 4, 3, 2, 1 cách

như vậy có 7! cách

Trường hợp 2 bỏ đi bộ (1;8) hoặc (2;7) hoặc (3;6) có 3 cách

+) h=0, a có 7 cách, b có 6 cách, c, d, e, f, g có lần lượt 5, 4, 3, 2, 1 cách

$\Rightarrow $ có 7!.3 cách

+) h=5, a có 6 cách, b, c, d, e, f, g có lần lượt 6, 5, 4, 3, 2, 1 cách

$\Rightarrow$ có 6!.3 cách

Trường hợp 3 bỏ đi bộ (4,5)

h=0 có 1 cách

a, b, c, d, e, f, g có lần lượt 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1 cách

$\Rightarrow $ có 7! cách

Vậy $n(A)=7!+7!.3+6.6!.3+7!=38160$

Vậy $P(A)=\dfrac{n(A)}{n(\Omega)}=\dfrac{53}{2268}$