Cho hình chóp S.ABC có AB = a, AC = acăn3, BC = 2a. SA = SB = SC và tam giác SBC vuông. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC là: A. acăn3/2 B. acăn3/7 C. acăn21/7 D. Đáp án khác Bạn nào giải cụ thể giúp mình câu 32 với ạ.Mình cảm ơn nhiều

Đáp án:

 C. $\dfrac {a\sqrt{21}}7$

Giải thích các bước giải:

 Do $SA=SB=SC$ nên hình chiếu H của S lên (ABC) là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$

$\Delta ABC$ có: $BC^2=AB^2+AC^2$

$\Rightarrow\Delta ABC\bot A\Rightarrow H$ là trung điểm của BC.

Kẻ $AD//BC$ sao cho $ABCD$ là hình bình hành

$\Rightarrow d(SA, BC)=d(BC,(SAD))=d(H,(SAD))$

Tứ giác $AHCD$ là hình thang cân vì $HC//AD,AH=DC=a\Rightarrow HD=AC=a\sqrt3$

$\Delta AHD$ có: $AD^2=DH^2+AH^2$

$\Rightarrow \Delta AHD\bot H$

$V_{SHAD}=\dfrac13.SH.\dfrac12.AH.HD=\dfrac{a^2\sqrt3}6SH$

$\Delta SBC\bot S\Rightarrow SB=SC=\dfrac{BC}{\sqrt2}=a\sqrt2$

$SH=\dfrac12BC=a\Rightarrow V_{SHAD}=\dfrac{a^3\sqrt3}6$

$\Delta SAD:SA=SB=a\sqrt2$

$\Rightarrow SD=\sqrt{SH^2+HD^2}=2a$

$\cos\widehat{ASD}=\dfrac{SA^2+SD^2-AD^2}{2.SA.SD}=\dfrac{\sqrt2}4$

$\Rightarrow\sin\widehat{ASD}=\dfrac{\sqrt{14}}4$

$\Rightarrow S_{SAD}=\dfrac12.SA.SD.\sin\widehat{ASD}=\dfrac{a^2\sqrt7}2$

$\Rightarrow d(H,(SAD))=\dfrac{3V_{SHAD}}{S_{SAD}}=\dfrac{\sqrt{21}}{7}=d(SA, BC)$.