Hai bạn Đại và Học lên bảng viết ngẫu nhiên mỗi người một số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau đôi một. Xác xuất để hai bạn đó viết ra hai số có đúng 2 chữ số giống nhau và chúng ở cùng hàng tương ứng (hàng đơn vị, hàng chục, hàng trăm, hàng nghìn như 3456 và 7451) là?

Đáp án: $\dfrac{85}{2268}$

Giải thích các bước giải:

Số các số có $4$ chữ số phân biệt là $9\cdot 9\cdot 8\cdot 7=4536$

$\to$Đại và Học viết ngẫu nhiên mỗi người một số tự nhiên có $4$ chữ số khác nhau đôi một có 
$$n_{\Omega}=4536^2$$

Xét $D=\overline{abcd}, H=\overline{efgh}$ là số ngẫu nhiên viết bởi Đại và Học thỏa mãn đề

Trường hợp $1: D,H$ có hàng nghìn và $1$ giống nhau

$\to$ Hàng nghìn có $9$ cách chọn, chọn $1$ hàng nữa để chúng giống nhau$\to$Có $3\cdot 9=27$ cách chọn

$\to$ Số cách chọn $4$ chữ số còn lại sao cho giá trị mỗi hàng tương ứng khác nhau là:

$$8\cdot 7\cdot 6\cdot 5=1680$$

$\to$ Số lượng số thỏa mãn trường hợp $1$ là :

$$9\cdot 27\cdot 1680=408240$$

Trường hợp $2: D,H$ không có hàng nghìn giống nhau

Chọn chữ số hàng nghìn của $D,H\to$Có $9\cdot 8=72$ cách chọn

Chọn $2$ hàng giống nhau có $C^2_3=3$ cách chọn

Hai hàng này có $8\cdot 7=56$ cách chọn

Chọn hàng còn lại có $6\cdot 5=30$ cách chọn

$\to$Số lượng số $D,H$ thỏa mãn đề là: $72\cdot 3\cdot 56\cdot 30=362880$

$\to p=\dfrac{408240+362880}{4536^2}$

$\to p=\dfrac{85}{2268}$