Cho tam giác ABC vuông tại A. Điểm D trên cạnh BC, vẽ DM vuông góc với AB tại M, DN vuông góc với AC tại N a) Tứ giác AMDN là hình gì? Tính diện tích tứ giác AMDN biết AM=3cm, AD=5cm b) Gọi AH là đường cao của tam giác ABC. Tính góc MHN c) Khi điểm D di chuyển trên cạnh BC thì trung điểm I của MN di chuyển trên đoạn thẳng nào

Giải thích các bước giải:

a. Vì $DM\perp AB\Rightarrow \widehat{DMA}=90^o$,

$DN\perp AC\Rightarrow\widehat{DNA}=90^o$,

$\Delta ABC\bot A\Rightarrow\widehat A=90^o$

$\Rightarrow\Diamond AMDN$ là hình chữ nhật.

Áp dụng định lý Pitago vào $\Delta AMD\bot M,AM=3cm,AD=5cm$ có:

$MD=\sqrt{AD^2-AM^2}=4cm$

$\Rightarrow S_{AMDN}=AM.DM=12cm^2$

b. Gọi $AD\cap MN=E\Rightarrow E$ là trung điểm AD, MN

Mà $AH\perp BC$

$\Delta AHD\bot H, E$ là trung điểm cạnh huyền $AD$

$\Rightarrow EH=EA=ED=EM=EN$

$\Rightarrow \Delta MHN$ vuông tại `H`

$\Rightarrow\widehat{MHN}=90^o$

c. Gọi $G, I$ là  trung điểm `AB,AC` suy ra $GI$ là đường trung bình của $\Delta ABC$

$\Rightarrow GI//BC$

$\Rightarrow GE, EI$ là đường trung bình $\Delta ABD, \Delta ADC\Rightarrow GE//BD, EI//DC$ hay $GE, EI//BC$

$\Rightarrow E\in  GI$

$\Rightarrow$ Trung điểm $E$ của $MN$ di chuyển trên đường trung bình $\Delta ABC$.