Cho ∆ABC có trực tâm H, trọng tâm G và tâm đường tròn ngoại tiếp O. a) Gọi I là trung điểm BC. CM: vectơ AH=2.vectơ OI b) CM: vecto OH= vecto OA + vecto OB + vecto OC c) CM: 3 điểm O,G,H thẳng hàng

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

a) Kẻ đường kính BF.

Ta có: \(AH \bot BC,CF \bot BC \Rightarrow AH//CF\)

Lại có \(AF \bot AB,CH \bot AB \Rightarrow AF//CH\)

\( \Rightarrow AHCF\) là hình bình hành.

\( \Rightarrow \overrightarrow {AH} = \overrightarrow {FC} \).

Lại có \(OI\) là đường trung bình của tam giác BCF nên \(\overrightarrow {OI} = \frac{1}{2}\overrightarrow {FC} \)

Vậy \(\overrightarrow {AH} = \overrightarrow {FC} = 2\overrightarrow {OI} \).

b) Ta có: \(\overrightarrow {OH} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {AH} = \overrightarrow {OA} + 2\overrightarrow {OI} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} \)

c) Do \(G\) là trọng tâm tam giác ABC nên \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = 3\overrightarrow {OG} \Rightarrow \overrightarrow {OG} = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} } \right) = \frac{1}{3}\overrightarrow {OH} \)

Vậy ba điểm \(O,H,G\) thẳng hàng.