Tìm Min, Max của 2m+1/ m^2 +2

Đặt \(k=\dfrac{2m+1}{m^2+2}\)

\(↔km^2+2k=2m+1(*)\\↔km^2-2m+2k-1=0\\Δ'=(-1)^2-k(2k-1)=-2k^2+k+1\)

Để biểu thức đạt GTLN, GTNN thì pt \( (*)\) có nghiệm

\(→Δ'=-2k^2+k+1≥0\\↔-2k^2+2k-k+1≥0\\↔-2k(k-1)-(k-1)≥0\\↔(-2k-1)(k-1)≥0\\↔\left[\begin{array}{1}\begin{cases}-2k-1≥0\\k-1≥0\end{cases}\\\begin{cases}-2k-1≤0\\k-1≤0\end{cases}\end{array}\right.\\↔\left[\begin{array}{1}\begin{cases}k≤-\dfrac{1}{2}\\k≥1\end{cases}\\\begin{cases}k≥-\dfrac{1}{2}\\k≤1\end{cases}\end{array}\right.\\↔-\dfrac{1}{2}≤k≤1\\→\begin{cases}\min =-\dfrac{1}{2}\\\max=1\end{cases}\)

\(→\) Dấu "=" xảy ra khi \(\begin{cases}\dfrac{2m+1}{m^2+2}=-\dfrac{1}{2}\\\dfrac{2m+1}{m^2+2}=1\end{cases}\\↔\begin{cases}m=-2\\m=1\end{cases}\)

Vậy biểu thức có \(\min=-\dfrac{1}{2}\) khi \(m=-2\)

                            \(\max=1\) khi \(m=1\)