Cho O là trung điểm của đoạn thẳng AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là cạnh AB vẽ tia Ax, By vuông góc với AB.Trên tia Ax lấy điểm C (≠A) qua O kẻ đường thẳng vuông góc với OC cắt tia By tại D. a, CMR: AB^2 = 4.AC.BD b, Kẻ OM vuông góc với CD tại M. CMR: AC = CM. c, Kẻ MH vuông góc với AB tại H. CMR: BC đi qua trung điểm MH d, Tìm vị trí của điểm C trên tia Ax để diện tích tứ giác ABDC nhỏ nhất

Giải thích các bước giải:

a.Ta có :

$\widehat{COA}=\widehat{ODB}(+\widehat{DOB}=90^o)$

$\rightarrow \Delta AOC\sim\Delta BDO(g.g)$

$\rightarrow \dfrac{AO}{BD}=\dfrac{AC}{BO}$ 

$\rightarrow AO.BO=AC.BD\rightarrow\dfrac{AB}{2}.\dfrac{AB}{2}=AC.BD$

$\rightarrow AB^2=4AC.BD$

b.Từ câu a

$\rightarrow \dfrac{AC}{OB}=\dfrac{OC}{DO}\rightarrow \dfrac{AC}{AO}=\dfrac{OC}{OD}$

$\rightarrow\Delta ACO\sim\Delta OCD(c.g.c)$

$\rightarrow\widehat{ACO}=\widehat{OCD}\rightarrow OC$ là phân giác $\widehat{ACD}$

Mà $OA\perp CA, OM\perp CD\rightarrow OM=OA\rightarrow AC=CM$

c.Chứng minh tương tự ta có $DM=DB$

Gọi $BC\cap AD=E\rightarrow \dfrac{AC}{BD}=\dfrac{CE}{EB}=\dfrac{AE}{ED}=\dfrac{CM}{DM}$

$\rightarrow ME//AC\rightarrow ME\perp AB=H$

Lại có :
$\dfrac{ME}{BD}=\dfrac{CE}{CB}=\dfrac{AE}{AD}=\dfrac{EH}{BD}\rightarrow EM=EH$

$\rightarrow E$ là trung điểm MH

$\rightarrow BC$ đi qua trung điểm MH

d.Ta có :

$S_{ABDC}=\dfrac{1}{2}.AB(AC+BD)=\dfrac{1}{2}.AB(CM+MD)=\dfrac{1}{2}.AB.CD\ge \dfrac{1}{2}.AB.AB$

Dấu = xảy ra $\rightarrow CD=AB$

Khi đó $ABCD$ là hình chữ nhật $CO=DO$ (do $\Delta ACO=\Delta BDO$ (AC=BD,góc vuông AO=BO))

$\Rightarrow\Delta COD\bot$ cân đỉnh O

$\Rightarrow\widehat{OCD}=45^o$

$\Rightarrow\widehat{ACO}=45^o$

$\Rightarrow\Delta AOC\bot $ cân đỉnh A

$\rightarrow AC=AO$.