Ta có tích phân của (tan x + tan^3x).In (tan x + 2). dx cân từ 0 đến pi/4 = alpha. ln (2) - b/c là phân số tối giản. Tính a + b + c A. 11. B. 3 C. 1 D. 6. giúp e câu 1 với ạ e cảm ơn

Đáp án: A

Giải thích các bước giải:

$\begin{array}{l}
\tan x + 2 = u\\
 \Rightarrow \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx = du\\
 \Rightarrow \left( {{{\tan }^2}x + 1} \right)dx = du\\
 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 0 \Rightarrow u = 2\\
x = \frac{{ - \pi }}{4} \Rightarrow u = 1
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow I = \int\limits_0^{ - \pi /4} {\left( {\tan x + {{\tan }^3}x} \right).\ln \left( {\tan x + 2} \right)dx} \\
 = \int\limits_0^{ - \pi /4} {tanx.\ln \left( {\tan x + 2} \right)\left( {{{\tan }^2}x + 1} \right)dx} \\
 = \int\limits_2^1 {\left( {u - 2} \right).\ln u.du} \\
 = \ln u.\left( {\frac{{{u^2}}}{2} - 2u} \right)_2^1 - \int\limits_2^1 {\left( {\frac{{{u^2}}}{2} - 2u} \right).\frac{1}{u}.du} \\
 = 2\ln 2 - \int\limits_2^1 {\frac{u}{2} - 2.du} \\
 = 2\ln 2 - \left( {\frac{{{u^2}}}{4} - 2u} \right)_2^1\\
 = 2\ln 2 - \frac{5}{4}\\
 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 2\\
b = 5\\
c = 4
\end{array} \right. \Rightarrow a + b + c = 11
\end{array}$