Cho tứ giác ABCD nội tiếp nửa đường tròn duong kính AD. Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tai E. Kẻ EF AD. Gọi M là trung diểm của AE. Chứng minh rằng: a) Tứ giác ABEF nội tiếp một đườmg tròn. b) Tia BD là tia phân giác của góc CBF. c)Tứ giác BMFC nội tiếp một đường tròn. Giải giúp em với ạ. Em cảm ơn

`a)` Vì $EF\perp AD$ tại $F$

`=>\hat{AFE}=90°`

`\qquad \hat{ABE}=90°` (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

`=>\hat{A FE}+\hat{ABE}=90°+90°=180°` 

Mà `\hat{A FE};\hat{ABE}` ở vị trí đối nhau 

`=>ABEF` nội tiếp 

$\\$

`b)` Vì $ABEF$ nội tiếp 

`=>\hat{EAF}=\hat{EBF}` (cùng chắn cung $EF$)

Mà `\hat{EAF}=\hat{CBD}` (cùng chắn cung $CD$ của nửa $(O)$)

`=>\hat{EBF}=\hat{CBD}`

Vì `BD` nằm giữa hai tia $BF$ và $BC$

`=>BD` là phân giác của `\hat{CBF}`

$\\$

`c)` $M$ là trung điểm $AE$ (gt)

`=>FM` là trung tuyến $∆AEF$ vuông tại $F$

`=>MA=ME=MF=1/ 2 AE`

`=>∆MAF` cân tại $M$

`=>\hat{MAF}=\hat{MFA}`

$\\

Ta có `\hat{EMF}` là góc ngoài $∆AMF$

`=>\hat{EMF}=\hat{MAF}+\hat{MFA}=2\hat{MAF}`

Vì `BD` là phân giác `\hat{CBF}` (câu b)

`=>\hat{CBF}=2\hat{CBD}`

$\\$

`\qquad \hat{MAF}=\hat{CBD}` (cùng chắn cung $CD$)

`=>2\hat{MAF}=2\hat{CBD}`

`=>\hat{EMF}=\hat{CBF}`

`=>\hat{CMF}=\hat{CBF}`

`=>` Tứ giác $BMFC$ có hai đỉnh kề nhau `M;F` cùng nhìn cạnh $CF$ dưới hai góc bằng nhau

`=>BMFC` nội tiếp