Cho đường tròn tâm O bán kính R, đường kính AB và dây CD vuông góc với AB (AC<CB). Hai tia BC và DA cắt nhau tại E. Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ E đến đường thẳng AB. a/ CMR: tứ giác AHEC nội tiếp b/ Gọi F là giao điểm của hai tia EH và CA. CMR: HC=HF c/ CMR: HC là tiếp tuyến của (O) d/ CMR: BC.BE=BA.BH Giúp mình với mình đang cần gấp

Giải thích các bước giải:

a) \(\angle ACB = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \( \Rightarrow \angle ACE = {90^0}\)

Xét tứ giác ACEH có: \(\angle ACE + \angle AHE = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)

\( \Rightarrow \) Tứ giác ACEH là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({180^0}\)).

b) Tứ giác ACEH là tứ giác nội tiếp\( \Rightarrow \angle ACH = \angle AEH\) (hai góc nt cùng chắn cung AH)

Mà \(\angle AEH = \angle ADC\) (so le trong dó CD // EF – cùng vuông góc với AB)

\( \Rightarrow \angle ACH = \angle ADC\) (1)

Ta có \(AB \bot CD \Rightarrow AB\) đi qua trung điểm của CD (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung)

\( \Rightarrow AB\) là trung trực của CD.

\( \Rightarrow AC = AD\) (tính chất trung trực)

\( \Rightarrow \Delta ACD\) cân tại A \( \Rightarrow \angle ACD = \angle ADC\)  (2)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \angle ACH = \angle ACD\).

Lại có \(\angle ACD = \angle AFH\) (so le trong) \( \Rightarrow \angle ACH = \angle AFH\)

\( \Rightarrow \Delta HCF\) cân tại \(H \Rightarrow HC = HF\).

c) Ta có: \(\angle ACH = \angle ACD\) (cmt)

\(\angle ACO = \angle OAC\) (tam giác OAC cân tại O)

\( \Rightarrow \angle OCH = \angle ACH + \angle ACO = \angle ACD + \angle OAC = {90^0}\)

Vậy HC là tiếp tuyến của (O) tại C.

d) Xét \(\Delta BAC\) và \(\Delta BEH\) có:

\(\begin{array}{l}\angle B\,\,chung\\\angle BCA = \angle BHE = {90^0}\\ \Rightarrow \Delta BAC \sim \Delta BEH\,\,\left( {g.g} \right)\\ \Rightarrow \frac{{BC}}{{BH}} = \frac{{BA}}{{BE}} \Rightarrow BC.BE = BA.BH\,\,\left( {dpcm} \right)\end{array}\)