Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB=2R và C là điểm trên (O).Kẻ BI là phân giác góc ABC với I thuộc O và gọi E là giao điểm của AI và BC a, tam giác ABE là tam giác gì? vì sao? b, Gọi K là giao điểm của AC và BI. c/m EK vuông với AB c,Gọi F là điểm đối xứng với K qua I.C/m AF là tiếp tuyến của (O) và tứ giác AFEK là hình thoi

Đáp án+Giải thích các bước giải:

$a) \widehat{AIB}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn

$\Rightarrow AI \perp IB$

$\Delta ABE$ có $AI \perp IB, BI$ là phân giác

$\Rightarrow \Delta ABE$ cân tại $B$

$b) \widehat{ACB}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn

$\Rightarrow AC \perp CB$

$\Delta ABE$ có hai đường cao $BI, AC$ cắt nhau tại $K$

$\Rightarrow K$ là trực tâm $ \Delta ABC$

$\Rightarrow EK \perp AB$

$c)\Delta ABE$ cân tại $B$, phân giác $BI$

$\Rightarrow BI$ đồng thời là trung tuyến

$\Rightarrow I$ là trung điểm $EA$

$F$ là điểm đối xứng với $K$ qua $I$

$\Rightarrow I$ là trung điểm $FK$

Tứ giác $AFEK$ có $I$ là trung điểm $EA, FK và EA \perp FK$

$\Rightarrow$ Tứ giác $AFEK$  là hình thoi

$\Rightarrow EK//FA$

Mà $EK \perp AB$

$ \Rightarrow FA \perp AB$

$ \Rightarrow AF$ là tiếp tuyến của $(O).$