Cho parabol (P): y=1/2x^2 và đường thẳng (d): y=-x +m. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng d cắt P tại hai điểm phân biệt A(x1;y1), B(x2;y2) thỏa mãn x1.x2 + y1.y2=5

Đáp án: $m=1+\sqrt{6}$

Giải thích các bước giải:

Phương trình giao điểm của $(P)$ và $(d)$ là:

$\dfrac{1}{2}x^2=-x+m$

$⇔x^2=-2x+2m$

$⇔x^2+2x-2m=0(*)$

Ta có:  $Δ'=1-1.(-2m)=2m+1$

Số điểm chung của $(P)$ và $(d)$ là số nghiệm của phương trình $(*)$

$(P)$ cắt $(d)$ tại $2$ điểm phân biệt

$⇔$ Phương trình $(*)$ có $2$ nghiệm phân biệt

$⇔Δ'>0⇔2m+1>0⇔m>-0,5$

Do $x_1;x_2$ là hoành độ giao điểm nên chúng là nghiệm của phương trình $(*)$

Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: $x_1x_2=-2m$

Ta có: $A∈(P)⇒y_1=\dfrac{1}{2}x_1^2$

          $B∈(P)⇒y_2=\dfrac{1}{2}x_2^2$

Ta có: $x_1x_2+y_1y_2=5$

`⇔x_1x_2+\frac{1}{2}x_1^2.\frac{1}{2}x_2^2=5`

$⇔x_1x_2+\dfrac{1}{4}(x_1x_2)^2=5$

$⇔-2m+\dfrac{1}{4}(-2m)^2=5$

$⇔m^2-2m-5=0$

$⇔(m-1)^2-6=0$

$⇔(m-1)^2=6$

$⇔m-1=±\sqrt{6}$

$⇔m=1±\sqrt{6}$

Đối chiếu $ĐK,$ ta được: $m=1+\sqrt{6}$