trong mặt phẳng Oxy ,cho đường tròn (C):x2+y2-2x-2y-14=0 và điểm A (2;0) Gọi I là tâm (C) .Viết phương trình đường thẳng qua A và cắt (C) tại hai điểm M,N sao cho tam giác IMN có diện tích lớn nhất

${x^2} + {y^2} - 2x - 2y - 14 = 0(C)$
⇒`I(1;1);R = 4`
$IA = \sqrt {{{(2 - 1)}^2} + {{(0 - 1)}^2}}  = \sqrt 2  < R = 4$

Vậy `A` nằm bên trong đường tròn.

Xét tam giác `IMN` có : `IM=IN=R`

Nên tam giác `IMN` cân tại `I`

${S_{IMN}} = \dfrac{1}{2}.MN.IH = \dfrac{{MN}}{2}.IH = HN.IH\\
 = \sqrt {I{N^2} - I{H^2}} .IH\
 = \sqrt {{4^2} - I{H^2}} .IH = \sqrt {16 - I{H^2}} .IH\\
Đặt\,x = IH(0 < x \le \sqrt 2 )\\
 \Rightarrow S = \sqrt {16 - {x^2}} .x \le \dfrac{{16 - {x^2} + {x^2}}}{2} = 8$Dấu bằng xảy ra:
$16 - {x^2} = {x^2} \Leftrightarrow 2{x^2} = 16$
 $\Leftrightarrow {x^2} = 8 \Leftrightarrow x = 2\sqrt 2 $
Vậy $x = \sqrt 2 \,do\,(0 < x \le \sqrt 2 )$
$ \Rightarrow IH = IA = \sqrt 2 $
 $\Leftrightarrow H \equiv A$
$\overrightarrow {IA}  = (1; - 1);A(2;0)$
 $(d):1(x - 2) - 1(y - 0) = 0$
⇒`x - y - 2 = 0`