Một thí sinh tham gia kì thi THPT Quốc Gia. Trong bài thi môn Toán bạn đó làm được chắc chắn đúng 40 câu. Trong 10 câu còn lại chỉ có 3 câu bạn loại trừ được mỗi câu một đáp án chắc chắn sai. Do không còn đủ thời gian nên bạn bắt buộc phải khoanh bừa các câu còn lại. Hỏi xác suất bạn đó được 9 điểm là bao nhiêu ?

Đáp án: $P=\dfrac{1295}{16384}$

Giải thích các bước giải:

Ta có bài làm đạt $10$ điểm khi làm đúng $50$ câu

Như vậy để đạt $9$ điểm bạn đó cần làm đúng $45$ câu

Do đó bạn cần làm đúng $5$ câu trong $10$ câu còn lại

Gọi $3$ câu mà bạn đó loại trừ được đáp án sai là $A$ và

$7$ câu còn lại là $B$

Như vậy xác suất để đúng 1 câu trong nhóm $A$ là: $\dfrac{1}{3}$

Xác suất để sai 1 câu trong nhóm $A$ là $\dfrac{2}{3}$

Xác suất để đúng được 1 câu trong nhóm $B$ là: $\dfrac{1}{4}$

Xác suất để sai 1 câu trong nhóm $B$ là $\dfrac{1}{4}$

Th1: Trong 5 câu đúng có 3 câu nhóm A và 2 câu nhóm B

Xác suất để đúng 5 câu là: $C_3^3.(\dfrac{1}{3})^3.C_7^2(\dfrac{1}{4})^2.(\dfrac{3}{4})^5=\dfrac{189}{16384}$

Th2: Trong 5 câu đúng có 2 câu nhóm A và 3 câu nhóm B

Xác suất để đúng 5 câu là: $C_3^2.(\dfrac{1}{3})^2.\dfrac{2}{3}.C_7^3(\dfrac{1}{4})^3.(\dfrac{3}{4})^4=\dfrac{315}{8192}$

Th3: Trong 5 câu đúng có 1 câu nhóm A và 4 câu nhóm B

Xác suất để đúng 5 câu là: $C_3^1.\dfrac{1}{3}.(\dfrac{2}{3})^2.C_7^4(\dfrac{1}{4})^4.(\dfrac{3}{4})^3=\dfrac{105}{4096}$

Th4: Trong 5 câu đúng không có câu nào nhóm A và 5 câu nhóm B

Xác suất để đúng 5 câu là: $(\dfrac{2}{3})^3.C_7^5(\dfrac{1}{4})^5.(\dfrac{3}{4})^2=\dfrac{7}{2048}$

Vậy xác suất để bạn đó đạt 9 điểm là:

$\dfrac{189}{16384}+\dfrac{315}{8192}+\dfrac{105}{4096}+\dfrac{7}{2048}=\dfrac{1295}{16384}$