Cho a,b,c>0 : abc=1 . Chứng minh rằng :1/(a+b+1)+1/(b+c+1)+1/(c+a+1)≤1

Giả sử $\frac{1}{a+b+1}$+$\frac{1}{b+c+1}$+$\frac{1}{c+a+1}$ ≤ 1

⇔ ( b+c+1).( c+a+1) +( a+b+1).( c+a+1)+( a+b+1).( b+c+1) ≤ ( a+b+1).( b+c+1).( c+a+1)

⇔ ( b+c).( c+a)+c+a+1+b+c+1+( a+b).( c+a)+a+b+1+c+a+1+( a+b).( b+c)+b+c+1+a+b+1

≤ ( a+b).( b+c).( c+a)+( b+c).( c+a)+( a+b).( c+a)+( a+b).( b+c)+a+b+b+c+c+a+1

⇔ 2+2a+2b+2c ≤ ( a+b).( b+c).( c+a)

⇔ 2+2.( a+b+c) ≤ ( abc+a²b+ac²+a²c+b²c+b²a+bc²+abc)

⇔ 2+2.( a+b+c) ≤ abc+a²b+ab²+abc+b²c+bc²+abc+a²c+ac²-abc

⇔ 2+2.( a+b+c) ≤ ab.( a+b+c)+bc.( a+b+c)+ac.( a+b+c)-1

⇔ 3+2.( a+b+c) ≤ ( a+b+c).( ab+bc+ac)

⇔ 3 ≤ ( a+b+c).( ab+bc+ac-2) (*)

Áp dụng bất đẳng thức cô-sy ta có:

a+b+c ≥ 3.$\sqrt[3]{abc}$ = 3

ab+bc+ac ≥ 3.$\sqrt[]{a²b²c²}$=3

Xét vế phải ta có: ( a+b+c).( ab+bc+ac-2) ≥ 3.( 3-2) = 3 = Vế trái

Vì vậy (*) luôn đúng, do đó điều giả sử đúng

Dấu ''='' xảy ra khia a=b=c=1