Cho tam giác ABC cân tại A có góc A = 20 độ, vẽ tam giác đều DBC (D nằm trong tam giác ABC) tia p/g của góc ABD cắt AC tại M chứng minh a) AD là tia p/g của góc BAC b) AM = BC

Lời giải:

a) Xét $\triangle ABC$ cân tại $A,\ \widehat{A}=20^\circ$

$\Rightarrow \widehat{ABC} = \widehat{ACB} = \dfrac{180^\circ - 20^\circ}{2} = 80^\circ$

Ta lại có: $\widehat{DBC} = \widehat{DCB} = 60^\circ\quad (\triangle DBC$ đều$)$

$\Rightarrow \widehat{ABD} = \widehat{ACD} = 20^\circ$

Xét $\triangle ABD$ và $\triangle ACD$ có:

$\begin{cases}AB = AC\quad (gt)\\DB = DC\quad (gt)\\\widehat{ABD} = \widehat{ACD}\quad (cmt)\end{cases}$

Do đó: $\triangle ABD=\triangle ACD\ (c.g.c)$

$\Rightarrow \widehat{BAD} = \widehat{CAD}$ (hai góc tương ứng)

$\Rightarrow AD$ là phân giác của $\widehat{BAC}$

b) Ta có:

$\widehat{ABM} = \widehat{DBM} = \dfrac12\widehat{ABD}\quad (gt)$

$\Rightarrow \widehat{ABM}=\dfrac12\cdot 20^\circ = 10^\circ$

$\widehat{BAD} = \widehat{CAD} = \dfrac12\widehat{BAC}$ (câu a)

$\Rightarrow \widehat{CAD} = \dfrac12\cdot 20^\circ =10^\circ$

$\Rightarrow \widehat{ABM} = \widehat{CAD}$

Xét $\triangle ABM$ và $\triangle CAD$ có:

$\begin{cases}\widehat{BAM} = \widehat{ACD} = 20^\circ\\\widehat{ABM} = \widehat{CAD}\quad (cmt)\\AB = AC\quad (gt)\end{cases}$

Do đó: $\triangle ABM = \triangle CAD\ (g.c.g)$

$\Rightarrow AM = CD$

Ta lại có: $CD= BC\quad (\triangle DBC$ đều$)$

$\Rightarrow AM = BC$