Bài 1: Cho tứ diện ABCD có AB ⊥ (BCD). Trong tam giác BCD vẽ các đường cao BE và DF cắt nhau tại O. Trong mp(ACD) vẽ DK ⊥ AC. Gọi H là trực tâm của tam giác ACD. 1.Chứng minh (ACD) ⊥ (ABE) và (ACD) ⊥ (DFK). 2.Chứng minh OH ⊥ (ACD).

1.

+) Ta có CD ⊥ BE (do BE là đường cao ΔBCD)

CD ⊥ AB (do AB ⊥ (BCD))

Mà BE, AB ⊂ (ABE)

⇒ CD ⊥ (ABE), DC ⊂ (ACD)

⇒ (ACD) ⊥ (ABE) (điều phải chứng minh)

+) DF ⊥ AB (do AB ⊥ (BCD))

DF ⊥ BC (do DF là đường cao ΔBCD)

AB, BC ⊂ (ABC)

→ DF ⊥ (ABC) → DF ⊥ AC

Lại có DK ⊥ AC mà DF, DK ⊂ (DFK)

→ AC ⊥ (DFK), AC ⊂ (ADC) ⇒ (ACD) ⊥ (DFK) (điều phải chứng minh)

2. Do CD ⊥ (ABE) (cmt) ⇒ CD ⊥ AE và có DK ⊥ AC ⇒ H = AE ∩ DK

⇒ H ∈ (ABE)∩(DFK) 

Sử dụng tính chất: Nếu hai mặt phẳng cùng vuông góc với mặt phẳng thứ 3 thì giao tuyến của hai mặt phẳng đó vuông góc với mặt phẳng thứ 3.

(ACD) ⊥ (ABE), (ACD) ⊥ (DFK), (ABE)∩(DFK) = OH→ OH ⊥ (ACD)