Cho tam giác ABC có ba góc nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R . Hạ đường cao AH ,BK của tam giác. Các tia AH BK lần lượt cắt O tại các điểm thứ hai là D và E a, Chứng minh tứ giác ABHK nội tiếp đường tròn. xác định tâm của đường tròn đó b, Chứng minh rằng Hk // DE c, Cho O cố định , điểm C di chuyển trên O sao cho tam giác ABC có 3 góc nhọn . Chứng minh rằng độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác CHK không đổi

Đáp án:

a/ C/m tứ giác ABKH nội tiếp đường tròn và xđ tâm của đường tròn đó :

Trong tứ giác ABHK có :  góc AHB = 90 độ

góc AKB = 90 ĐỘ

Mà 2 góc cùng nhìn cạnh AB

=> tứ giác ABHK nội tiếp  (TỔNG 2 GÓC ĐỐI BẰNG 180 ĐỘ)

=> Tâm của đường tròn này nằm trên trung điểm của cạnh AB

(Tâm của đường tròn tứ giác nội tiếp là giao điểm của 4 đường trung trực của các cạnh. 

b/ C/m HK // DE:

Có : góc BED = góc BAD (cùng chắn cung BD)

mà góc BAD = góc BKH (tính chất của tứ giác ABHK nội tiếp)

=> góc BKH = góc BED mà ở vị trí đồng vị

=> HK // DE

c) C/m độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác CHK không đổi

Gọi AH∩BK=F

→F là trực tâm ΔABC

Mà ˆFKC+ˆFHC=90o+90o=180o

→FKCH nội tiếp

→Đường tròn ngoại tiếp ΔCHK là đường tròn ngoại tiếp ◊CHFK

Mà ˆFHC=90o

→FC là đường kính đường tròn ngoại tiếp ΔCHK

Gọi M là trung điểm AB

→OM⊥AB, OM không đổi vì A,B,OA,B,O cố định

       CI là đường kính của (O)

→IA⊥AC,IB⊥BC

→IA//BF,FB//AF

→AIBF là hình bình hành

→IF∩AB tại trung điểm mỗi đường

→M là trung điểm IF

Mà  O là trung điểm CI

→MO là đường trung bình ΔCFI

→FC=2MO không đổi

→đường kính đường tròn ngoại tiếp ΔCHK không đổi

→bán kính đường tròn ngoại tiếp ΔCHK không đổi