Cho hình nón đỉnh O có góc ở đỉnh bằng 120° và đáy là hình tròn có bán kính 3√3 biết rằng khi cắt hình nón bởi một mặt phảng đi qua đỉnh O, thiết diện thu được tam giác đều OAB với A,B thuộc đường tròn đáy. Tính điện tích tam giác OAB.

Đáp án:

$S_{OAB} = 6\sqrt3$

Giải thích các bước giải:

Gọi $I$ là tâm của đáy

$\to OI$ là chiều cao hình nón

$\to OI = \dfrac{R}{\tan\dfrac{120^\circ}{2}} = \dfrac{3\sqrt3}{\tan60^\circ} = 3$

Áp dụng định lý $Pythagoras$ ta được:

$\quad OA^2 = IA^2 + OI^2$

$\Leftrightarrow OA^2 = IA^2 + OI^2= (3\sqrt3)^2 + 3^2 = 36$

$\Rightarrow S_{OAB} = \dfrac{OA^2\sqrt3}{4} = \dfrac{36\sqrt3}{4} = 6\sqrt3$