cho x+y+xy =5/4 .tìm GTNN của A=x^2+y^2

Giải thích các bước giải:

Ta có:

$x+y+xy=\dfrac54$

$\to \dfrac54\le (x+y)+\dfrac14(x+y)^2$

$\to (x+y)^2+4(x+y)\ge 5$

$\to (x+y)^2+4(x+y)-5\ge 0$

$\to (x+y-1)(x+y-9)\ge 0$

$\to x+y\ge 9$ hoặc $x+y\le 1$

Ta có;

$A=x^2+y^2$

$\to A-2\cdot \dfrac54=x^2+y^2-2(x+y+xy)$

$\to A-\dfrac52=(x-y)^2-2(x+y)\ge 0-2\cdot 1=-2$ vì $x+y\le 1$

$\to A\ge \dfrac12$

Dấu = xảy ra khi $x+y=1$ và $x+y+xy=\dfrac54\to xy=\dfrac14\to x=y=\dfrac12$