giúp mình câu 5 với...

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

$Do$ $\alpha$ , $b$ > 0  $\Rightarrow$  $a$ - $b$ = $\frac{a+b}{\sqrt{ab}}$  $\Rightarrow$  $a$ > $b$

Đặt $a$ = $tb$ ( $t$>1 )

Theo đề bài ta có: $\sqrt{tb^2}$ = $\frac{tb +b}{tb-b}$  $\Rightarrow$  $b$$\sqrt{t}$ =$\frac{t+1}{t-1}$

⇔  $b$ = $\frac{t+1}{\sqrt{t}(t-1)}$   $\Rightarrow$ $a$ = $bt$ = $\frac{\sqrt{t}(t+1)}{t-1}$ 

Khi đó $P$ = $\frac{(t+1)^2}{(t-1)^2}$  $\frac{t-1}{\sqrt{t}}$  

$\Rightarrow$ $P$ = $\frac{(t-1)^2 +4t}{(t-1)^2}$  + $\frac{t-1}{\sqrt{t}}$ = 1 + $\frac{4t}{(t-1)^2}$ + $\frac{t-1}{\sqrt{t}}$ 

Áp dụng $BĐT$ $AM$ - $GM$ Với $t$ > 1

$\frac{4t}{(t-1)^2}$ + $\frac{t-1}{\sqrt{t}}$ = $\frac{4t}{(t-1)^2}$ +  $\frac{t-1}{2\sqrt{t}}$ + $\frac{t-1}{2\sqrt{t}}$ $\geq$ 3$\sqrt[3]{1}$ 

$\Rightarrow$  $P$ $\geq$  1+3 ⇔ $P$ $\geq$ 4   ⇔  $P$$_{min}$ = 4

Dấu = xảy ra khi 8$t$$\sqrt{t}$  = $(t-1)^3$ ⇔ $t$ = 3 + 2$\sqrt{2}$