Cho đường tròn (O) và một điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Từ A vẽ hai tiếp tuyến AB, AC của đường tròn (O) (B và C là hai tiếp điểm tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OA và BC. 1) Chứng minh OA vuông góc với BC tại H 2) Từ B vẽ đường kính BD của (O), đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại E (khác D), Chứng minh: AE.AD=AH.AO 3) Qua O vẽ đường thẳng vuông góc với cạnh AD tại K và cắt đường thẳng BC tại F. Chứng minh FD là tiếp tuyến của đường tròn (O). Giải cho tớ câu 5 vs

1. Vì $AB, AC$ là tiếp tuyến của $(O)$

$\rightarrow AB=AC$ mà $OB=OC\rightarrow AO$ là đường trung trực của $BC$

$\rightarrow OA\perp BC$

2. Xét $\Delta ACE$ và $\Delta ADC$ có:

$\widehat{ACE}=\widehat{ADC}$ (góc tạo bởi tiếp tuyến, dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung EC)

$\widehat{EAC}=\widehat{DAC}$

$\to\Delta ACE\sim\Delta ADC(g.g)$

$\Rightarrow\dfrac{AC}{AD}=\dfrac{AE}{AC}$

$\rightarrow AE.AD=AC^2=AH.AO$ $(\Delta ACO\bot C$ có $CH$ là đường cao$)$

3. Vì  BD là đường kính của (O)

$\to\widehat{BCD}=90^o$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

$\Rightarrow\widehat{DCF}=90^o$ và có $\widehat{DKF}=90^o$ (do $OK\bot AD$)

Ta có $\widehat{DCF}$ và $\widehat{DKF}$ cùng nhìn cạnh DF dưới 1 góc $90^o$

$\rightarrow \Diamond DKCF$ nội tiếp (DF)

Tương tự $\widehat{AKO}$ và $\widehat{ACO}$ cùng nhìn cạnh AO dưới góc $90^o$

$\rightarrow \Diamond ACKO$ nội tiếp đường tròn (AO)

$\rightarrow \widehat{CDF}=\widehat{CKF}$ (góc nội tiếp chắn cung CF)

$\widehat{CKF}=\widehat{CAO}$ (cùng bù với $\widehat{OKC}$)

$\widehat{CAO}=\widehat{CBD}$ (cùng phụ với $\widehat{ABC}$)

$\Rightarrow\widehat{ADF}=\widehat{CBD}$

$\rightarrow FD$ là tiếp tuyến của (O)