Tam giác ABC có a + c = 2b. Tính P=tan$\frac{A}{2}$tan $\frac{C}{2}$

Đáp án:

$\tan\dfrac A2\tan\dfrac C2=\dfrac13\Leftrightarrow a + c = 2b$

Giải thích các bước giải:

Ta có:

$\quad a + c = 2b$

$\Leftrightarrow 2R\sin A + 2R\sin C = 4R\sin B$

$\Leftrightarrow \sin A + \sin C = 2\sin B$

$\Leftrightarrow 2\sin\dfrac{A + C}{2}\cdot\cos\dfrac{A - C}{2}= 2\sin(A + C)$

$\Leftrightarrow \sin\dfrac{A + C}{2}\cdot\cos\dfrac{A - C}{2} = 2\sin\dfrac{A+C}{2}\cdot\cos\dfrac{A+C}{2}$

$\Leftrightarrow \cos\dfrac{A - C}{2} = 2\cos\dfrac{A+C}{2}$

$\Leftrightarrow \cos\dfrac A2\cos\dfrac C2+ \sin\dfrac A2\sin\dfrac C2 = 2\cos\dfrac A2\cos\dfrac C2 - 2\sin\dfrac A2\sin\dfrac C2$

$\Leftrightarrow 3\sin\dfrac A2\sin\dfrac C2 = \cos\dfrac A2\cos\dfrac C2$

$\Leftrightarrow \dfrac{\sin\dfrac A2\sin\dfrac C2}{\cos\dfrac A2\cos\dfrac C2}=\dfrac13$

$\Leftrightarrow \tan\dfrac A2\tan\dfrac C2=\dfrac13$