Cho phương trình bậc hai ẩn x: x^2 - 2mx + 2m -1 =0. (1) a) Tìm m để phương trình (1) luôn có 2 nghiệm x1,x2 voi mọi m b)tìm giá trị của m để PT (1) có 2 nghiệm x1,x2 thỏa mãn x1 ²+x2 ²=1 c)Với giá trị nào của m thì PT (1) có 2 nghiệm trái nhau d) tìm GTNN của A=x1 ²+x2 ²

Đáp án:

a, `m>1` thì phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt \(x_1,\ x_2\)

b, \(m=\dfrac{1}{2}\) thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt \(x_1,\ x_2\) thỏa mãn: \({x_{1}}^{2}+{x_{2}}^{2}=1\)

c, \(m<\dfrac{1}{2}\) thì phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu.

d, \(\min\ A=1\Leftrightarrow m=\dfrac{1}{2}\)

Giải thích các bước giải:

`-` Phương trình: \(x^2 - 2mx + 2m - 1 = 0\quad \quad (1)\)

a,

\(\Delta'=(b')^2-ac=(-m)^2-1.(2m-1)=m^2-2m+1=(m-1)^2\)

Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt \(x_1,\ x_2\) thì:

\(\Delta'>0\to (m-1)^2>0\to m-1>0\to m>1\)

Vậy `m>1` thì phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt \(x_1,\ x_2\)

b,

`-` Áp dụng định lí Vi-ét ta có:

\(\begin{cases}x_1+x_2=2m\\x_1x_2=2m-1\end{cases}\)

`-` Ta có: 

\({x_{1}}^{2}+{x_{2}}^{2}=1\\ \Leftrightarrow {x_{1}}^{2}+{x_{2}}^{2}+2x_{1}x_{2}-2x_{1}x_{2}=1\\ \Leftrightarrow (x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}=1\\ \to (2m)^2-2.(2m-1)=1\\ \Leftrightarrow 4m^2-4m+2-1=0\\ \Leftrightarrow 4m^2-4m+1=0\\ \Leftrightarrow (2m)^2-2.2m.1+1^2=0\\ \Leftrightarrow (2m-1)^2=0\\ \Leftrightarrow 2m-1=0\\ \Leftrightarrow 2m=1\\ \Leftrightarrow m=\dfrac{1}{2}\)

Vậy \(m=\dfrac{1}{2}\) thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt \(x_1,\ x_2\) thỏa mãn: \({x_{1}}^{2}+{x_{2}}^{2}=1\)

c,

Để phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu thì:

\(a.c<0\\ \to 1.(2m-1)<0\\ \Leftrightarrow 2m-1<0\\ \Leftrightarrow 2m<1\\ \Leftrightarrow m<\dfrac{1}{2}\)

Vậy \(m<\dfrac{1}{2}\) thì phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu.

d,

`-` Áp dụng định lí Vi-ét ta có:

\(\begin{cases}x_1+x_2=2m\\x_1x_2=2m-1\end{cases}\)

`-` Ta có: 

\(\quad A={x_{1}}^{2}+{x_{2}}^{2}\\ \Leftrightarrow A ={x_{1}}^{2}+{x_{2}}^{2}+2x_{1}x_{2}-2x_{1}x_{2}\\ \Leftrightarrow A =(x_{1}+x_{2})^2-2x_{1}x_{2}\\ \to A=(2m)^2-2.(2m-1)\\ \Leftrightarrow A=4m^2-4m+2\\ \Leftrightarrow A=(2m)^2-2.2m.1+1^2+1\\ \Leftrightarrow A=(2m-1)^2+1\)

`-` Vì \((2m-1)^2\geq 0\ ∀m\\ \to (2m-1)^2+1\geq 1\ ∀m\\ \to A\geq 1\ ∀m\\ \to \min\ A=1\Leftrightarrow (2m-1)^2=0\\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \Leftrightarrow 2m-1=0\\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \Leftrightarrow m=\dfrac{1}{2}\)

Vậy \(\min\ A=1\Leftrightarrow m=\dfrac{1}{2}\)

\(\boxed{\text{LOVE TEAM}}\)