Cho nửa đường tròn đường kính AB kẻ tiếp tuyến Bx với nửa đường tròn gọi C là điểm trên nửa đường tròn sao cho cung CB bằng cung CA ; D là một điểm tùy ý trên cung CB (D khác C và B). Các tia AC, AD cắt Bx theo thứ tự E, F a) CM ΔABE vuông cân b) CM FB ²= FD.FA

$\text{a, Có $\overparen{CA}=\overparen{CB}$ (gt)}$

$\text{⇒ CA = CB}$

$\text{⇒ ΔCAB cân tại C}$

$\text{Xét nửa đường tròn đường kính AB có: C thuộc nửa đường tròn (gt)}$

$\text{⇒ $\widehat{ACB}=90°$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ⇒ BC ⊥ AE ⇒ $\widehat{BCE}=90°$}$

$\text{Xét ΔCAB cân tại C (cmt) có: $\widehat{ACB}=90°$ (cmt)}$

$\text{⇒ ΔCAB vuông cân tại C}$

$\text{⇒ $\widehat{CAB}=\widehat{CBA}=45°$ Hay $\widehat{BAE}=\widehat{CBA}=45°$}$

$\text{Xét nửa đường tròn đường kính AB có: Bx là tiếp tuyến, B là tiếp điểm}$

$\text{⇒ AB  ⊥ Bx ⇒ $\widehat{EBA}=90°$}$

$\text{Có $\widehat{CBA}+\widehat{CBE}=\widehat{EBA}$}$

$\text{⇒ $\widehat{EBC}=\widehat{EBA}-\widehat{CBA}=90°-45°=45°$}$

$\text{Xét ΔECB vuông tại C ($\widehat{ECB}=90°$) có: }$

$\text{$\widehat{EBC}+\widehat{CEB}=90°$ (tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông)}$

$\text{⇒ $\widehat{CEB}=90°-\widehat{CBE}=90°-45°=45°$ Hay $\widehat{AEB}=45°$}$

$\text{Xét ΔABE vuông tại B ($\widehat{EBA}=90°$) có: $\widehat{AEB}=\widehat{BAE}=45°$}$

$\text{⇒ ΔABE vuông cân tại B}$

$\text{b, Xét nửa đường tròn đường kính AB có: D thuộc nửa đường tròn}$

$\text{⇒ $\widehat{ADB}=90°$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ⇒ BD ⊥ AF}$

$\text{Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong ΔBFA vuông tại B ($\widehat{EBA}=90°$), BD ⊥ AF (cmt) có:}$

$\text{FB²=FD.FA}$