Cho `a,b,c,d > 0` thõa mãn `a + b + c + d = 2` . CMR : `(a + b + c)(a + b) >= 16abcd`

Đáp án:

 điều phải chứng minh `<=> ((a + b + c)(a + b))/(abcd) >= 16 (1)`

Áp dụng BĐT phụ : `xy <= (x + y)^2/4 <=> (x - y)^2 >= 0 (luôn đúng)` , ta có : 

`VT_{(1)} = ((a + b + c)(a + b))/(abcd) >= ((a + b + c)(a + b))/[(a + b)^2/4 cd] = [4(a+ b + c)]/[(a+ b)cd] >= [4(a + b + c)]/[(a + b + c)^2/4 d] = 16/[(a + b + c)d] >= 16/((a + b + c + d)^2/4)= 64/(a + b + c + d)^2 = 64/2^2 = 16 = VP_{(1)} (đ.p.c.m)`

Dấu "=" xảy ra `<=> {a = b`

                                     `{a + b = c` 

                                     `{a + b + c = d`

                                     `{a + b + c + d = 2`

`<=> a = b = 1/4 , c = 1/2 , d = 1`

Giải thích các bước giải: