Cho đường tròn đường kính AB, C là một điểm trên đường kính AB. Trên đường tròn lấy điểm D,gọi M là một điểm chính giữa cung BD. Đường thẳng MC cắt đường tròn tại E, đường thẳng DE cắt AM tại K. Đường thẳng đi qua C và song song với AD cắt DE tại F a) Chứng minh tứ giác AKCE nội tiếp b) CK vuông góc với AD

Lời giải:

a) Ta có:

$\widehat{AKE}=\dfrac12\left(sđ\mathop{AE}\limits^{\displaystyle\frown} + sđ\mathop{DM}\limits^{\displaystyle\frown}\right)$

$\widehat{ACE}=\dfrac12\left(sđ\mathop{AE}\limits^{\displaystyle\frown} + sđ\mathop{BM}\limits^{\displaystyle\frown}\right)$

Ta lại có:

$\mathop{DM}\limits^{\displaystyle\frown} = \mathop{BM}\limits^{\displaystyle\frown}=\dfrac12\mathop{BD}\limits^{\displaystyle\frown}\quad (gt)$

$\Rightarrow sđ\mathop{DM}\limits^{\displaystyle\frown} = sđ\mathop{BM}\limits^{\displaystyle\frown}$

Do đó:

$\widehat{AKE}=\widehat{ACE}$

Xét tứ giác $AKCE$ có:

$\widehat{AKE}=\widehat{ACE}\quad (cmt)$

$\widehat{AKE}$ và $\widehat{ACE}$ cùng nhìn cạnh $AE$

Do đó $AKCE$ là tứ giác nội tiếp

b) Ta có:

$AKCE$ là tứ giác nội tiếp (câu a)

$\Rightarrow \widehat{EAC}=\widehat{EKC}$ (cùng nhìn cạnh $CE$)

mà $\widehat{EAC}=\widehat{EAB}=\widehat{EDB}$ (cùng chắn $\mathop{BE}\limits^{\displaystyle\frown}$)

nên $\widehat{EDB}=\widehat{EKC}$

mà $\widehat{EDB}$ và $\widehat{EKC}$ là hai góc đồng vị

$\Rightarrow KC//DB$

Lại có:

$\widehat{ADB}=90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

$\Rightarrow DB\perp AD$

Do đó:

$KC\perp AD$