bài 1: Cho tam giác ABC vuông ở A, AB=6cm; AC=8cm; đường cao AH, phân giác BD. Gọi I là giao điểm của AH và BD. a) Tính AD, DC b) Chứng minh IH/IA=AD/DC c) Chứng minh AB*BI=BD*HB và tam giác AID cân

a) Áp dụng định ;í Pitago vào ΔABC vuông tại A

⇒$BC^{2}$ $=AB^{2}$ $+AC^{2}$ =6^{2}$ $+8^{2}$=100 ⇒BC=10 (cm)

Có: BD là phân giác góc ABC của ΔABC

⇒$\frac{AB}{BC}$ = $\frac{AD}{DC}$(1)  ⇔$\frac{AB}{BC}$ = $\frac{AD}{AC-AD}$ 

⇔$\frac{6}{10}$ = $\frac{AD}{8-AD}$ ⇔6(8-AD)=10AD 

⇔ 48-6AD=10AD  ⇔16AD=48 ⇔ AD=3 (cm)

Có DC= AC-AD= 8- 3= 5(cm)

b)Ta có  BI là p/g ∠ABH của ΔABH

⇒$\frac{IA}{IH}$ =$\frac{BH}{BA}$  (2)

Xét ΔABC và ΔHBA có:

∠ABC chung

∠BAC=∠BHA (=$90^{o}$ )

⇒ ΔABC ~ ΔHBA (g-g)

⇒$\frac{BH}{BA}$ =$\frac{BA}{BC}$  (3)

Từ (1), (2) và (3) ⇒$\frac{IH}{IA}$ $=^{}$ $\frac{AD}{DC}$  (đpcm)

c) Xét ΔABI và ΔCBD có:

∠ABI=∠CBD (BI là p/g ∠ABH)

∠BAH=∠BCA (cùng phụ ∠ABC)

⇒  ΔABI~ΔCBD (g-g)

⇒ $\frac{AB}{BC}$ =$\frac{IA}{DC}$ (4)

Từ (1) và (4) ⇒$\frac{AD}{DC}$= $\frac{IA}{DC}$ ⇒ AD=IA 

⇒ΔADI cân tại A

Xét ΔABD và ΔHBI có:

∠BAD=∠HBI $(=90^{o}$) 

∠ABD=∠HBI (BI là p/g ∠HBA)

⇒ΔABD~ΔHBI (g-g)

⇒ $\frac{AB}{BD}$ =$\frac{HB}{BI}$ 

⇒ AB.BI= BD.HB (đpcm)

@thuyylinhh20042007