Bài toán cổ. Bác kia chăn vịt khác thường Buộc đi cho được chẵn hàng mới ưa Hàng 2 xếp thấy chưa vừa Hàng 3 xếp vẫn còn thừa một con Hàng 4 xếp vẫn chưa tròn Hàng 5 xếp thiếu một con mới đầy Xếp thành hàng 7, đẹp thay Vịt bao nhiêu? Tính được ngay mới tài. (Biết số vịt chưa đến 200 con)

Đáp án: $49$ con

Giải thích các bước giải:

Gọi số vịt là $x, x\in N^*$

Vì hàng 2 xếp thấy chưa vừa

$\to$Số vịt chia $2$ dư $1$

Hàng $3$ xếp vẫn còn thừa $1$ con

$\to$Số vịt chia $3$ dư $1$

Hàng $4$ xếp vẫn chưa tròn

$\to$Số vịt không chia hết cho $4$

Hàng $5$ xếp thiếu $1$ con mới đầy

$\to$Số vịt chia $5$ dư $4$

Xếp thành hàng $7$ đẹp thay

$\to$Số vịt chia hết cho $7$

Như vậy ta có:

$x$ chia $2$ dư $1$

$x$ chia $3$ dư $1$

$x$ chia $5$ dư $4$

$x$ chia hết cho $7$

Ta có $x$ chia $2,3$ dư $1$

$\to x-1\quad\vdots\quad 2, 3$

Mà $BCNN(2,3)=6$

$\to x-1=6k, k\in N$

$\to x=6k+1$

Mà $x $ chia $5$ dư $4$

$\to x-4\quad\vdots\quad 5$

$\to (6k+1)-4\quad\vdots\quad 5$

$\to 6k-3\quad\vdots\quad 5$

$\to 6k-18+15\quad\vdots\quad 5$

$\to 6k-18\quad\vdots\quad 5$

$\to 6(k-3)\quad\vdots\quad 5$

$\to k-3\quad\vdots\quad 5$

$\to k$ chia $5$ dư $3$

$\to k=5t+3, t\in N$

$\to x=6(5t+3)+1$

$\to x=30t+19$

Lại có $x$ chia hết cho $7$

$\to 30t+19\quad\vdots\quad 7$

$\to 28t+2t+21-2\quad\vdots\quad 7$

$\to 2t-2\quad\vdots\quad 7$

$\to 2(t-1)\quad\vdots\quad 7$

$\to t-1\quad\vdots\quad 7$

$\to t$ chia $7$ dư $1$

$\to t=7a+1, a\in N$

$\to x=30(7a+1)+19$

$\to x=210a+49$

Mà số vịt chưa đến $200$ con

$\to 210a+49<200$

$\to 210a<151$

$\to a\le 0$ 

Vì $a\in N\to a=0$

$\to$Số vịt là $210\cdot 0+49=49$ con