Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi E, D lần lượt là giao điểm của các tia phân giác trong và ngoài của hai góc ABC và ACB. Đường thẳng ED cắt BC tại I. Chứng minh: a. Ba điểm A, E, D thẳng hàng. b.Tứ giác BECD nội tiếp được trong đường tròn. c. BI. IC = ID. IE

a)

$E$ là giao điểm các đường phân giác trong $\widehat{B}$ và $\widehat{C}$

Nên $AE$ là phân giác $\widehat{A}$

$D$ là giao điểm các đường phân giác ngoài $\widehat{B}$ và $\widehat{C}$

Nên $AD$ là phân giác $\widehat{A}$

$\to A,E,D$ thẳng hàng

b)

$BE$ là phân giác trong của $\widehat{B}$

$BD$ là phân giác ngoài của $\widehat{B}$

$\to BE\bot BD$

$CE$ là phân giác trong của $\widehat{C}$

$CD$ là phân giác ngoài của $\widehat{C}$

$\to CE\bot CD$

Xét tứ giác $BECD$, ta có:

$\widehat{EBD}=\widehat{ECD}=90{}^\circ $

$\to \widehat{EBD}+\widehat{ECD}=180{}^\circ $

$\to BECD$ là tứ giác nội tiếp

c)

Vì $BECD$ là tứ giác nội tiếp

Nên $\widehat{IBE}=\widehat{IDC}$ ( cùng chắn cung $EC$ )

Xét $\Delta IBE$ và $\Delta IDC$, ta có:

$\widehat{IBE}=\widehat{IDC}\,\,\,\left( cmt \right)$

$\widehat{BIE}=\widehat{DIC}$ ( hai góc đối đỉnh )

$\to \Delta IBE\backsim\Delta IDC\,\,\,\left( g.g \right)$

$\to \dfrac{IB}{ID}=\dfrac{IE}{IC}$

$\to IB.IC=ID.IE$