Cho đường tròn (O; R) và một điểm A ở ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là tiếp điểm). Gọi H là trung điểm của BC a) cm: A,H,O thẳng hàng và các điểm A,B,O,C thuộc cùng một đường tròn. b) Kẻ đường kính $BD$ của $(O)$, vẽ CK vuông góc với BD. Cm :AC.CD=CK.OA c) Tia OA cắt đường tròn $(O)$ tại $M$ và $N$. Cm: MA.NA=MA.NH d) AD cắt CK tại I Cm rằng: I là trung điểm của CK .

Giải thích các bước giải:

a) Ta có $AB$ và $AC$ là tiếp tuyến tại $A$ và $B$ của $(O)$

$\Rightarrow AB⊥OB$ và $AC⊥OC$

Xét $ AOB \text{ và } ΔAOC$ có:

$OB=OC(=R)$

$\widehat{ABO}=\widehat{ACO}=90^o$

$OA$ chung

$\Rightarrow ΔAOB=ΔAOC$ (ch-cgv)

$\Rightarrow AB=AC$ và có thêm $OB=OC\Rightarrow AO$ là đường trung trực của $BC$

Mà H là trung điểm của BC

$\Rightarrow A,H,O$ thẳng hàng

Tứ giác $ABOC$ có $\widehat{ABO}+\widehat{ACO}=90^o+90^o=180^o$

$\Rightarrow A,B,C,O$ cùng thuộc đường tròn đường kính $OA$.

b) Xét $(O)$ có $BD$ là đường kính

$\Rightarrow ΔBCD$ vuông tại $C\Rightarrow  CD⊥BC$

Mà $OA⊥BC$

$\Rightarrow OA//CD \Rightarrow\widehat{  AOC}=\widehat{ OCD}$ (so le trong)

Xét $ΔOCD$ có $OC=OD$

$\Rightarrow ΔOCD $ cân tại $ O \Rightarrow \widehat { OCD}=\widehat{ ODC}$

$\Rightarrow {ODC}=\widehat{AOC}$

Xét ΔAOC và ΔCDK có:

$\widehat{AOC}=\widehat{ CDK}$

$\widehat{ACO}=\widehat{ CKD}=90^o$

=> ΔAOC đồng dạng ΔCDK

=> $\dfrac{AO}{CD}$= $\dfrac{AC}{CK}$ 

=> AC.CD=CK.OA

d) Xét $ΔOCK$ vuông tại $K$

=> $ΔOCK$ nội tiếp đường tròn đường kính $OC$

Xét $ΔOHC$ vuông tại $H$

=> $ΔOHC$ nội tiếp đường tròn đươngf kính OC

=> Tứ giác OKCH nội tiếp đường tròn đường kính OC

=> $\widehat{CHK}=\widehat{ COD}$

Có góc BOA=Gó BCK( cùng phụ góc CBD)

$\widehat{CHI}+\widehat{BCK}=\widehat{BOA}+ \widehat{BAO}$

=>$\widehat{CHI}=\widehat{ BAO}$

Mà $\widehat{BAO}=\widehat{CBD}$ (cùng phụ $ \widehat{ABC}$)

=> $\widehat{CHI}=\widehat{ CBD}$

=> HI//BD

Xét ΔBCD có HI//BD và H là trung điểm của BC

=> HI là đường trung bình của ΔBCD

=> I là trung điểm của CK