Tìm phân số tối giản a/b nhỏ nhất ( với a/b>0) biết khi chia a/b cho 7/15 và 12/25 đc thương là các số nguyên

$\begin{array}{l}\text{- Để $\dfrac ab>0$ tối giản và nhỏ nhất $\to\begin{cases}\text{$a,b$ cùng dấu}\\ƯC(a,b)=\{\pm1\}\\\text{$|a|$ nhỏ nhất, $|b|$ lớn nhất}\end{cases}$}\\\text{- Xét $a,b>0$ (khi đó $a$ nhỏ nhất$^{(1)}$, $b$ lớn nhất$^{(2)}$)}\\\text{- Ta có :}\\\dfrac ab\div\dfrac7{15}=\dfrac{15a}{7b}\\\text{$\dfrac{15a}{7b}$ nguyên $\Leftrightarrow 15a\ \vdots\ 7b\\\Leftrightarrow \begin{cases} 15a\ \vdots\ 7\\15a\ \vdots\ b\end{cases}\\\Leftrightarrow\begin{cases} a\ \vdots\ 7^{(3)}\quad\text{(vì 15 và 7 nguyên tố cùng nhau)}\\ 15\ \vdots\ b^{(4)}\quad\text{(vì $a$ và $b$ nguyên tố cùng nhau)}\end{cases}$}\\\text{- Ta lại có :}\\\dfrac ab\div\dfrac{12}{25}=\dfrac{25a}{12b}\\\text{$\dfrac{25a}{12b}$ nguyên $\Leftrightarrow 25a\ \vdots\ 12b\\\Leftrightarrow \begin{cases} 25a\ \vdots\ 12\\25a\ \vdots\ b\end{cases}\\\Leftrightarrow\begin{cases} a\ \vdots\ 12^{(5)}\quad\text{(vì 25 và 12 nguyên tố cùng nhau)}\\ 25\ \vdots\ b^{(6)}\quad\text{(vì $a$ và $b$ nguyên tố cùng nhau)}\end{cases}$}\\\text{- Từ (1), (3), (5) $\to a=BCNN(7,12)=84$}\\\text{- Từ (2), (4), (6) $\to b=ƯC LN(15,25)=5$}\\\to\dfrac ab=\dfrac{84}5\\\text{- Xét $a,b<0$}\\\text{- Áp dụng kết quả của trường hợp $a,b>0$ ta được $\dfrac ab=\dfrac{-84}{-5}$}\\\text{- Vậy $\dfrac ab=\dfrac{84}5$ hoặc $\dfrac ab=\dfrac{-84}{-5}$} \end{array}$