Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số y = x^3-(2m+1)x²+2(m²-4)x-2m²+2m+8 có cực đại, cực tiểu và các giá trị cực trị trái dấu. A. 5 B. 6 C. 7 D. 4 Giúp em bài 40 với ạ

Đáp án:

Đáp án A.

Giải thích các bước giải:

 Ta có:

$\begin{array}{l}
y = {x^3} - \left( {2m + 1} \right){x^2} + 2\left( {{m^2} - 4} \right)x - 2{m^2} + 2m + 8
\end{array}$

Hàm số có 2 cực trị và giá trị của các cực trị trái dấu khi và chỉ khi phương trình $y = 0(1)$ có 3 nghiệm phân biệt.

Mà:

 $\begin{array}{l}
y = 0\left( 1 \right)\\
 \Leftrightarrow {x^3} - \left( {2m + 1} \right){x^2} + 2\left( {{m^2} - 4} \right)x - 2{m^2} + 2m + 8 = 0\\
 \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 2mx + 2{m^2} - 2m - 8} \right) = 0\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 1\\
{x^2} - 2mx + 2{m^2} - 2m - 8 = 0\left( 2 \right)
\end{array} \right.
\end{array}$

Phương trình (1) có 3 nghiệm khi và chỉ khi phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 1

$\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\Delta ' > 0\\
1 - 2m + 2{m^2} - 2m - 8 \ne 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\left( { - m} \right)^2} - \left( {2{m^2} - 2m - 8} \right) > 0\\
2{m^2} - 4m - 7 \ne 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{m^2} - 2m - 8 < 0\\
m \ne \frac{{2 \pm 3\sqrt 2 }}{2}
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
 - 2 < m < 4\\
m \ne \frac{{2 \pm 3\sqrt 2 }}{2}
\end{array} \right.
\end{array}$

$ \Rightarrow m \in \left\{ { - 1;0;1;2;3} \right\}$

$\to $ Có 5 giá trị của m thỏa mãn đề bài $\to $ Đáp án A.