a) Cho n điểm phân biệt trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Qua 2 điểm ta vẽ được một đường thẳng. Có tất cả 28 đường thẳng. Tìm n? b) Cho n điểm phân biệt trong đó có 7 điểm thẳng hàng. Kẻ các đường thẳng đi qua các cặp điểm. có tất cả 190 đường thẳng . Tìm n? c) Cho 20 đường thẳng đôi một cắt nhau và không có ba đường thẳng nào đồng quy. Hỏi có bao nhiêu giao điểm tạo thành?

Đáp án: a) 8 điểm phân biệt

               b) 22 điểm phân biệt

               c) 190 giao điểm

Giải thích các bước giải:

a) Gọi số điểm cần tìm là $n$ (điểm) $(n \in\mathbb N^*)$

Ta gọi tên các điểm là $A_1,A_2,A_3,...A_n$

- Qua điểm $A_1$ và $n-1$ điểm còn lại ta vẽ được $n-1$ đường thẳng

- Qua điểm $A_2$ và $n-1$ điểm còn lại ta vẽ được $n-1$ đường thẳng

- ...

- Qua điểm $A_n$ và $n-1$ điểm còn lại ta vẽ được $n-1$ đường thẳng

Do đó có $n.(n-1)$ đường thẳng

Tuy nhiên mỗi đường thẳng được tính 2 lần nên số đường thẳng được tạo thành là:

$n.(n-1):2$ (đường thẳng)

Theo bài ra:

$n.(n-1):2 = 28$

$n.(n-1) = 28.2$

$n.(n-1) = 56 = 7.8$

Vậy $n = 8$

b) Theo câu a) $n$ điểm phân biệt không có 3 điểm nào chung sẽ kẻ được

$n.(n-1):2$ đường thẳng

Nếu $7$ điểm phân biệt sẽ kẻ được $7(7-1)=42$ đường thẳng

Nếu $7$ điểm thẳng hàng sẽ kẻ được 1 đường thẳng

Như vậy n điểm phân biệt trong đó có 7 điểm thẳng hàng có số đường thẳng kẻ được bằng "số đường thẳng nếu không có 3 điểm nào thẳng hàng" trừ "số đường thẳng 7 điểm không thẳng hàng" cộng "số đường thẳng 7 điểm thẳng hàng tạo thành"

Ta có:

$n(n-1):2-42+1=190$

$\Rightarrow n(n-1):2-41=190$

$\Rightarrow n(n-1):2=190+41=231$

$\Rightarrow n(n-1)=231.2=462=22.21$

Vậy $n=22$

c) Ta gọi tên các đường thẳng là $d_1,d_2,d_3,...d_n$

- Đường thẳng $d_1$ và $n-1$ đường thẳng còn lại ta có được $n-1$ giao điểm

- Đường thẳng $d_2$ và $n-1$ đường thẳng còn lại ta có được $n-1$ giao điểm

- ...

- Đường thẳng $d_{n-1}$ và $n-1$ đường thẳng còn lại ta có được $n-1$ giao điểm

Do đó có $n.(n-1)$ giao điểm tuy nhiên mỗi giao điểm được tính 2 lần

Vậy có $n(n-1):2$ giao điểm

Vậy với 20 đường thẳng thì số giao điểm là:

$20(20-1):2=190$ giao điểm.