cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B , góc SAB=góc SCB= 90 độ . AB= a , BC= 2a . Biết rằng góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy bằng 60 độ . Thể tích khối chóp đã cho bằng?

Đáp án:

 \(\dfrac{{{a^3}\sqrt {15} }}{3}\).

Giải thích các bước giải:

Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(S\) lên \(\left( {ABC} \right)\).

Ta có

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}BC \bot SC\,\,\left( {gt} \right)\\BC \bot SH\,\,\left( {SH \bot \left( {ABC} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SCH} \right) \Rightarrow BC \bot CH\\\left\{ \begin{array}{l}AB \bot SA\,\,\left( {gt} \right)\\AB \bot SH\,\,\left( {SH \bot \left( {ABC} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {SAH} \right) \Rightarrow AB \bot AH\end{array}\)

\( \Rightarrow ABCH\) là hình chữ nhật (tứ giác có 3 góc vuông).

Vì \(SH \bot \left( {ABC} \right)\) nên \(HB\) là hình chiếu vuông góc của \(SB\) lên \(\left( {ABC} \right)\)

\( \Rightarrow \angle \left( {SB;\left( {ABC} \right)} \right) = \angle \left( {SB;HB} \right) = \angle SBH = {60^0}\).

Áp dụng định lí Pytago ta có: \(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}}  = a\sqrt 5 \), lại có \(ABCH\) là hình vuông nên \(BH = AC = a\sqrt 5 \)

Xét tam giác vuông \(SBH\) có \(SH = BH.\tan {30^0} = a\sqrt {15} \).

Vậy \({V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}SH.{S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{3}SH.\dfrac{1}{2}AB.BC = \dfrac{1}{6}.a\sqrt {15} .a.2a = \dfrac{{{a^3}\sqrt {15} }}{3}\).