Viết phương trình đường tròn tiếp xúc (d): 3x-4y-31=0 tại A(1;-7) và có bán kính bằng 5

Đáp án:

${\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y + 11} \right)^2} = 25$ và ${\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 25$

Giải thích các bước giải:

Gọi $I$ là tâm đường tròn

 Ta có:

Đường tròn tiếp xúc với $(d)$ tại $A$

$ \Leftrightarrow IA \bot \left( d \right) = A$

Như vậy:

Đường thẳng $IA$ đi qua $A(1;-7)$ nhận $\overrightarrow u  = \overrightarrow {{n_{\left( d \right)}}}  = \left( {3; - 4} \right)$ có phương trình tham số là:

$\left\{ \begin{array}{l}
x = 1 + 3t\\
y =  - 7 - 4t
\end{array} \right.$

$ \Rightarrow I\left( {1 + 3t; - 7 - 4t} \right)$

Ta có:

$\begin{array}{l}
IA = 5\\
 \Leftrightarrow I{A^2} = 25\\
 \Leftrightarrow {\left( {3t} \right)^2} + {\left( { - 4t} \right)^2} = 25\\
 \Leftrightarrow {t^2} = 1\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = 1\\
t =  - 1
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
I\left( {4; - 11} \right)\\
I\left( { - 2; - 3} \right)
\end{array} \right.
\end{array}$

Như vậy có 2 phương trình đường tròn thỏa mãn bài toán là:

${\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y + 11} \right)^2} = 25$ và ${\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 25$