Nhà toán học người Pháp Pierre de Fermat là người đầu tiên đưa ra khái niệm số Fermat Fn=2^(2^n)+1với n là một số nguyên dương không âm, Fermat dự đoán Fn là một số nguyên tố nhưng Euler đã chứng minh được F5 là hợp số. Hãy tìm số chữ số của F13

Đáp án:

Giải thích các bước giải: Ta sử dụng kiến thức : Xét số tự nhiên \(A\log A\) có \(n\) chữ số. Khi đó \(n = \left[ {\log A} \right] + 1,\) ở đó \(\left[ {\log A} \right]\) là phần nguyên của log A - là số nguyên lớn nhất không vượt qua log A. Khi đó số chữ số của \({F_{13}}\) là \(\begin{array}{l} n = \left[ {\log {F_{13}}} \right] + 1 = \left[ {\log \left( {{2^{{2^{13}}}} + 1} \right)} \right] + 1\\ De\,co\,\left[ {\log {2^{{2^{13}}}}} \right] + 1 \le n \le \left[ {\log {2^{\left( {{2^{13}} + 1} \right)}}} \right] + 1\\ \Leftrightarrow \left[ {{2^{13}}.\log {2^{{2^{13}}}}} \right] + 1 \le n \le \left[ {\left( {{2^{13}} + 1} \right).\log 2} \right] + 1\\ \Leftrightarrow 2467,03777... \le n \le 2467,338754...\\ Vay\,n = 2467 \end{array}\)