Cho tam giác ABC vuông tại A ,đường cao AH. Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của H lên AB,AC . a)Cho BH = 4cm, CH = 9cm. Tính AH, DE b) Chứng minh AD.AB = AE.AC c) Đường phân giác của góc BAH cắt BC tại K. Gọi I là trung điểm của AK. Chứng minh tam giác AKC cân và CI vuông góc AK. d) Dựng IM vuông góc BC tại M. Chứng minh 1/AH2 = 1/AK2 + 1/4CI2

Giải thích các bước giải:

 a) Vì ΔABC vuông tại A có đường cao AH nên ta có đẳng thức:

$A{H^2} = BH.CH$

=> AH=$\sqrt {BH.CH}  = \sqrt {4.9}  = 6cm$

Vì HD⊥AB, HE⊥AC, AB⊥AC

=> DHEA là hình chữ nhật

=> DE=HA

=> DE=6cm

b) Vì ∠ACH=90 độ, HE⊥AC nên ta có đẳng thức:

$A{H^2} = AE.AC$

tưong tự: $A{H^2} = AB.AD$

=> AB.AD=AE.AC(dpcm)

c) Vì AKC là góc ngoài ΔABK

=> ∠AKC=∠ABK+∠BAK

Vì AK là phân giác ∠BAH

=> ∠BAK=∠KAH

Vì AH⊥BC

=> ∠HAC+HCA=90 độ, mà ∠BAC=90 độ=> ∠ABC+∠ACB=90 độ

=> ∠HAC=∠ABC

Mà ∠KAC=∠KAH+∠HAC

=> ∠KAC=∠AKC

=> ΔKAC cân tại C(dpcm)

Vì I là trung điểm AK

=> CI⊥AK(dpcm)

d) Kẻ AF//CI(F∈BC)

Vì I là trung điểm AK, AF//CI

=> C là trung điểm KF

=> AF=2CI

=> $\frac{1}{{4C{I^2}}} = \frac{1}{{A{F^2}}}$

Vì CI⊥AK

=> AF⊥AK

Mà AH⊥KF nên ta có đẳng thức:

$\frac{1}{{A{K^2}}} + \frac{1}{{A{F^2}}} = \frac{1}{{A{H^2}}}$

=> $\frac{1}{{A{K^2}}} + \frac{1}{{4C{I^2}}} = \frac{1}{{A{H^2}}}$(dpcm)