Trên nửa đường tròn đường kính AB, lấy 2 điểm I,Q sao cho I thuộc cung AQ. Gọi C là giao điểm hai tia AI và BQ, H là giao điểm của 2 dây AQ và BI a) CM: tứ giác CIHQ nội tiếp b) CM: CI.AI=HI.BI c) Biết AB=2R. Tính giá trị biểu thức M=AI.AC+BQ.BC theo R

Giải thích các bước giải:

a.Vì $AB$ là đường kính của $(O)$

$\to AQ\perp BQ, AI\perp BI$

$\to \widehat{CQH}=\widehat{CIH}=90^o$

$\to CIHQ$ nội tiếp đường tròn đường kính $CH$

b.Xét $\Delta CIB,\Delta AIH$ có:

$\widehat{CIB}=\widehat{AIH}(=90^o)$

$\widehat{CBI}=\widehat{QBI}=\widehat{IAQ}=\widehat{IAH}$

$\to\Delta CIB\sim\Delta HIA(g.g)$

$\to \dfrac{CI}{AI}=\dfrac{HI}{IA}$

$\to CI.AI=HI.BI$

c.Ta có $QA\perp BC, BI\perp AC, AQ\cap BI=H$

$\to H$ là trực tâm $\Delta ABC$

$\to CH\perp AB=D$

Xét $\Delta AIB,\Delta ADC$ có:

Chung $\hat A$

$\widehat{AIB}=\widehat{ADC}(=90^o)$

$\to\Delta AIB\sim\Delta ADC(g.g)$

$\to \dfrac{AI}{AD}=\dfrac{AB}{AC}$

$\to AI.AC=AD.AB$

Tương tự $BQ.BC=BD.BA$

$\to M=AI.AC+BQ.BC=AD.AB+BD.BA=AB^2=4R^2$