Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn (AB < AC) các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. a) Chứng minh rằng: BF. BA = BD. BC, góc BFD = góc BCA b) Chứng minh rằng: HB. HE = HC. HF và góc FEB = góc FCB c) Chứng minh rằng: BF. BA + CH. CF = $BC^{2}$ d) Gọi I là giao điểm của EF và BC và O là trung điểm của đoạn thẳng BC Chứng minh rằng: IO. ID = IB. IC

Giải thích các bước giải:

 a) Ta có:

$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\widehat Bchung\\
\widehat {ADB} = \widehat {CFB} = {90^0}
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \Delta ADB \sim \Delta CFB\left( {g.g} \right)\\
 \Rightarrow \dfrac{{BA}}{{BD}} = \dfrac{{BC}}{{BF}}\\
 \Rightarrow BF.BA = BD.BC
\end{array}$

Lại có:

$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\dfrac{{BA}}{{BD}} = \dfrac{{BC}}{{BF}}\\
\widehat Bchung
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \Delta BFD \sim \Delta BCA\left( {c.g.c} \right)\\
 \Rightarrow \widehat {BFD} = \widehat {BCA}
\end{array}$

b) Ta có:

$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\widehat {HFB} = \widehat {HEC} = {90^0}\\
\widehat {FHB} = \widehat {EHC}\left( {dd} \right)
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \Delta FHB \sim \Delta EHC\left( {g.g} \right)\\
 \Rightarrow \dfrac{{HF}}{{HE}} = \dfrac{{HB}}{{HC}}\\
 \Rightarrow HF.HC = HE.HB
\end{array}$

Lại có:

$\dfrac{{HF}}{{HE}} = \dfrac{{HB}}{{HC}} \Rightarrow \dfrac{{HF}}{{HB}} = \dfrac{{HE}}{{HC}}$

Khi đó:

$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\widehat {EHF} = \widehat {CHB}\left( {dd} \right)\\
\dfrac{{HF}}{{HB}} = \dfrac{{HE}}{{HC}}
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \Delta EHF \sim \Delta CHB\left( {g.g} \right)\\
 \Rightarrow \widehat {FEH} = \widehat {BCH}\\
 \Rightarrow \widehat {FEB} = \widehat {FCB}
\end{array}$

c) Ta có:

$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\widehat Cchung\\
\widehat {CDH} = \widehat {CFB} = {90^0}
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \Delta CDH \sim \Delta CFB\left( {g.g} \right)\\
 \Rightarrow \dfrac{{CD}}{{CF}} = \dfrac{{CH}}{{CB}}\\
 \Rightarrow CF.CH = CD.CB\\
 \Rightarrow CF.CH + BF.BA = CD.CB + BD.BC = BC.\left( {CD + BD} \right)\\
 \Rightarrow CF.CH + BF.BA = B{C^2}
\end{array}$

d) Ta có:

$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\widehat Achung\\
\widehat {AEB} = \widehat {AFC} = {90^0}
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \Delta AEB \sim \Delta AFC\left( {g.g} \right)\\
 \Rightarrow \dfrac{{AE}}{{AF}} = \dfrac{{AB}}{{AC}}\\
 \Rightarrow \dfrac{{AE}}{{AB}} = \dfrac{{AF}}{{AC}}
\end{array}$

Khi đó:

$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\widehat Achung\\
\dfrac{{AE}}{{AB}} = \dfrac{{AF}}{{AC}}
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \Delta AEF \sim \Delta ABC\left( {g.g} \right)\\
 \Rightarrow \widehat {AFE} = \widehat {ACB}\\
 \Rightarrow \widehat {IFB} = \widehat {ACB}\\
 \Rightarrow \widehat {IFB} = \widehat {ICE}
\end{array}$

Như vậy:

$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\widehat Ichung\\
\widehat {IFB} = \widehat {ICE}
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \Delta IFB \sim \Delta ICE\left( {g.g} \right)\\
 \Rightarrow \dfrac{{IF}}{{IC}} = \dfrac{{IB}}{{IE}}\\
 \Rightarrow IB.IC = IF.IE\left( * \right)
\end{array}$

Lại có:

$\widehat {IFD} = \widehat {IFB} + \widehat {BFD} = \widehat {ICE} + \widehat {BCA} = 2\widehat {BCA}\left( 1 \right)$

Mà $\Delta BEC;\widehat E = {90^0};O$ là trung điểm của $BC$

$ \Rightarrow OB = OC = OE = \dfrac{1}{2}BC$

$ \Rightarrow \Delta COE$ cân ở $O$

$\begin{array}{l}
 \Rightarrow \widehat {BOE} = 2\widehat {OCE}\\
 \Rightarrow \widehat {IOE} = 2\widehat {BCA}\left( 2 \right)
\end{array}$

Từ $\left( 1 \right),\left( 2 \right) \Rightarrow \widehat {IFD} = \widehat {IOE}$

Khi đó:

$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\widehat Ichung\\
\widehat {IFD} = \widehat {IOE}
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \Delta IFD \sim \Delta IOE\left( {g.g} \right)\\
 \Rightarrow \dfrac{{IF}}{{IO}} = \dfrac{{ID}}{{IE}}\\
 \Rightarrow IO.ID = IF.IE\left( {**} \right)
\end{array}$

Từ $\left( * \right),\left( {**} \right) \Rightarrow IO.ID = IB.IC$