Cho Tam giác ABC nội tiếp đường trong (O) các đường cao AD,BE,CF cắt nhau tại H và lần lượt cắt đường trọn tại N,P 1) CM Tứ giác BFEC,AEBD nội tiếp 2) Chứng Minh AE.AC=AF.AB 3) chứng minh H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác EFD 4) Chứng Minh BC là phân giác Góc HBM từ đó suy ra H,M đối xứng nhau qua BC 5) chứng minh PN//EF ; AO vuông góc EF

1, Ta có: $AD,BE,CF$ là các đường cao $ΔABC$

$⇒\widehat{BEC}=\widehat{BFC}=\widehat{ADB}=\widehat{AEB}=90^o$

$\widehat{BEC}=\widehat{BFC}=90^o$

$⇒E;F$ cùng nhìn `[BC]` dưới 1 góc ko đổi

$E;F$ là 2 đỉnh liên tiếp của tứ giác $BFEC$

`⇒` Tứ giác `BFEC` nội tiếp (Bài toán quỹ tích cung chứa góc)

$\widehat{ADB}=\widehat{AEB}=90^o$

$⇒D;E$ cùng nhìn `[AB]` dưới 1 góc ko đổi

$E;D$ là 2 đỉnh liên tiếp của tứ giác $AEBD$

`⇒` Tứ giác `AEBD` nội tiếp (Bài toán quỹ tích cung chứa góc)

2.

Ta có: Tứ giác `BFEC` nội tiếp

$⇒\widehat{AEF}=\widehat{FBC}$ (góc ngoài tại 1 đỉnh = góc trong đỉnh đối diện)

Hay $\widehat{AEF}=\widehat{ABC}$

Xét $ΔAEF$ và $ΔABC$ có:

$\widehat{A}$ chung

$\widehat{AEF}=\widehat{ABC}$

$⇒ΔAEF \sim ΔABC(g.g)$

`⇒\frac{AE}{AB}=\frac{AF}{AC}`

`⇒AE.AC=AF.AB`

3. Tứ giác `AEBD` nội tiếp

$⇒\widehat{CED}=\widehat{ABD}$

Hay $\widehat{CED}=\widehat{ABC}$

Mà $\widehat{AEF}=\widehat{ABC}$

$⇒\widehat{CED}=\widehat{AEF}$

$⇒EB$ là tia phân giác $ΔEFD$

Chứng minh tươn tự có: $FC$ là tia phân giác $ΔEFD$

$DA$ là tia phân giác $ΔEFD$

$EB;FC;AD$ cắt nhau tại H nên $H$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $EFD$

4.

Xét $(O)$ có: $\widehat{MBC}=\widehat{MAC}$ (các góc nội tiếp cùng chắn cung $MC$)

Hay $\widehat{MBC}=\widehat{HAC}$

$\widehat{HAC}=\widehat{HBC}$ (cùng phụ $\widehat{ACB}$)

$⇒\widehat{MBC}=\widehat{HBC}$

$⇒BC$ là phân giác $\widehat{HBM}$

Mà $BC⊥HM$ tại $H$

$⇒ΔHBM$ cân tại $B$

$⇒D$ đồng thời là trung điểm $HM$

$BC⊥HM$ tại $D$

$⇒H;M$ đối xứng qua $BC$

5. Chứng minh tương tự như trên có : $E;F$ lần lượt là trung điểm $HN;HP$

$⇒EF$ là đường trung bình $ΔHPN$
$⇒PN//EF$

Vẽ tiếp tuyến tại $A$ của đường tròn; $I$ là điểm trên tiếp tuyến $⇒AI⊥AO$)

Xét $(O)$ có: $\widehat{IAC}=\widehat{ABC}$ ( góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung $AC$)

Mà $\widehat{AEF}=\widehat{ABC}(cmt)$

$⇒\widehat{IAC}=\widehat{AEF}$

$⇒AI//EF$

Mà $AI⊥AO$

$⇒AO⊥EF$ (đpcm)